抽樣推斷-在線瀏覽
2025-04-08 22:12本頁面
【正文】 1)( ???????xexf?????? x?其中 為常數(shù)，則稱 X服從參數(shù) 為的正態(tài)分布。 0, ??? ??, ),(~ 2??NX?根據(jù)密度函數(shù)可以求出服從正態(tài)分布的隨機變量 X的分布函數(shù)： dtexF xt? ????? 222)(21)( ???? ?根據(jù)密度函數(shù)可以求出服從正態(tài)分布的隨機變量 X的分布函數(shù)： dtexF xt? ????? 222)(21)( ?????同時 X在區(qū)間（ a, b）內(nèi)取值的概率為： dtebxaP bat?????? 222)(21)( ?????正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線象一個鐘形，且是對稱的。 ??? 21)( ?f? ④ 曲線以 為對稱軸，在距離對稱軸兩邊相同距離 處，各有一個拐點。 ??x ???? 2?? 稱 =0， =1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，一般習慣用 表示它的概率密度， 表示它的概率分布函數(shù)，其公式為： ?? )(x? )(x? 2221)( xex ???? dtexx t?????? 2221)(? ),(~ 2??NX?標準化：若 ，則可以將其標準化。 ???? Xz ? Chebyshev大數(shù)定律 ?? nXXX , 21的數(shù)學期望和方差： 設(shè)隨機變量序列 相互獨立，且具有相同 ?,2,1,)(,)(2 ??? iXDXE ii ?? 01lim1????????? ????????niin XnP或 11lim1????????? ???????niin XnP則對于任意小數(shù) 有： 0?? ? 中心極限定律 （ Central Limit Theorem） ? 給出一個任意形式的總體，其平均值 μ 和方差 為有限值，在對總體進行抽樣時，隨著樣本容量 n的增大，由這些樣本算出的平均數(shù) 的抽樣分布將近似服從平均值 μ 和方差為 的正態(tài)分布。 2?xn2????? xz? 二、參數(shù)估計 ? 參數(shù)估計就是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)。 ? 點估計方法 ? 點估計就是將樣本指標直接作為未知的總體指標的估計值 。由樣本 構(gòu)造統(tǒng)計量，估計未知參數(shù) 。 X? nXXX , 21 ?? ),(?? 21 nXXX ??? ???點估計量的評價準則： ?（ 1） 無偏性 ? 如果樣本統(tǒng)計量的期望值等于總體的期望值，則稱這個估計量為無偏估計。 ?? ?? ?)?(E??????（ 2） 一致性 ? 隨著樣本容量增大 ， 估計量會越來越接近被估計的參數(shù) 。 0?? 1}|?{|lim ????? ???Pn??? ? (3)有效性 ? 是指估計量的離散程度。有效性可用下述比率決定： 2212????21??其中 是較小的方差。根據(jù)樣本構(gòu)造統(tǒng)計量 和 ，且 ， 如果對給定的常數(shù) ，有： ),(? 2111 nXXXT ??? ,(? 2122 nXXT ??? 21 ??? ?? ? ? ???? ???? 1??21P? )10( ?? nXXX , 21 ? ? 則稱區(qū)間（ ）為 的置信水平為 的置信區(qū)間，稱 為估計的顯著性水平。 21 ?? ??，? ??? 21?,? ??? 評價區(qū)間估計的兩個標準： ? (1)估計的可靠度 ? 置信度 反映了區(qū)間估計的可信度?；蛘哒f， 100個這樣的估計區(qū)間中，平均有 95個包含了總體參數(shù) ； ? (2)估計的精確度 ? 區(qū)間的長度 反映了區(qū)間估計的精確度。 ? 可靠度和精確度是相互矛盾的。 ?? 總體平均數(shù)的區(qū)間估計 ? 根據(jù)估計條件的不同，估計的公式也不一樣，也就是說，要根據(jù)是否知道總體的分布、是否知道總體的方差、是大樣本還是小樣本，是重復(fù)抽樣還是不重復(fù)抽樣來確定。 ? (1)樣本取自總體方差已知的正態(tài)分布 ? 如果樣本來自正態(tài)分布總體，即： 則： ),(~ 2??NX ),(~2nNx?? 經(jīng)變換， 服從標準正態(tài)分布，即 xxz???? )1,0(~ Nxzx????進行總體均值的置信區(qū)間估計，就是要求得， ???? ???? 1)( 21p對于標準正態(tài)分布，就是要求得， ?? ? ?? ?????? 1)(22zxzpx由此可以推出， xx zxzx ??? ??22????在重復(fù)抽樣的情況下， nx?? ? 由此可以推出， nzxnzx?????22????故所求的 100（ 1α） %的置信區(qū)間為 ),(22 nzxnzx ?? ?? ??記 表示以樣本指標 為中心向左、向右的最大誤差，稱為極限誤差或允許誤差。試以 95%的置信度估計該險種投保人的平均年齡。 ? 解： ? 由樣本得樣本均值 ，標準差 = 對于給定的置信度 95%，有 =值 。因此，仍可以用 或 來近似求出非正態(tài)分布總體的均值 μ 的置信區(qū)間。若總體服從正態(tài)分布，標準差 σ不知道，則要用樣本的方差 來代替總體方差 建立置信區(qū)間。 21?ns 2? 所以構(gòu)造， nsxsxt xxx/?? ????它服從自由度為 n
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