【文章內容簡介】 具有較強的編輯圖形界面的能力。 MATLAB 擁有功能強大的工具箱，主 要用來擴充其符號計算功能、圖示建模仿真功能、文字處理功能以及與硬件實施交互功能。 源程序的開放性強。除內部函數以外，所有 MATLAB 的核心文件和工具箱文件都是可讀可改變的源文件，用戶可通過對源文件的修改以及加入自己的文件構成新的工具箱。 MATLAB 軟件自 1984 年推向市場以來，歷經十幾年的發(fā)展和競爭，現已成為國際公認的最優(yōu)秀的科技應用軟件。它功能強大、界面友好、語言自然、開放性強，很快成為應用學科計算機輔助分析、設計、仿真、教學乃至科技文字吹不可缺少的基礎軟件。 圖 31 MATLAB主界面 天津大學仁愛學院 2020 屆本科生畢業(yè)生設計（論文） 6 第四章 FIR數字濾波器的設計 窗函數法設計 FIR 數字濾波器 要設計出的濾波器的理想頻率響應函數為 ，則對應的單位脈沖響應為 ?? ???? deeHnh njjdd )(21)( ??? (41) 窗函數設計法的基本原理是用有限長單位脈沖響應序列 h(n)逼近 hd(n)。由于 hd(n)往往是無限長序列，且是非因果的，所以用窗函數ω (n)將 hd(n)截斷，并進行加權處理，得到 （ 42） h(n)就作為實際設計的 FIR 數字濾波器的單位脈沖響應序列，其頻率響應函數 ??? ?? 10 )()( Nn njj enheH ?? (43) 為（ 43）式中， N為所選窗函數ω (n)的長度。 用窗函數法設計的濾波器性能取決于窗函數ω (n)的類型及窗口長度 N 的取值。設計過程中，要根據對阻帶最 小衰減和過渡帶寬度的要求選擇合適的窗函數類型和窗口長度 N。 這樣選定窗函數類型和長度 N 后，求出單位脈沖響應 ，并求出 。是否滿足要求，要進行驗算。一般在 h(n)尾部加零使長度滿足 2的整數次冪，以便用 FFT 計算。如果要觀察細節(jié)，補零點數增多即可。不滿足要求，則要重新選擇窗函數類型和長度 N，再次驗算，直至滿足要求。 如果要求線性相位特性，則 h(n)還必須滿足： h(n)=+/h(N1n)，根據式中的正負號和長度 N 的奇偶性又將線性相位 FIR 濾波器分成四類。要根據所設計的濾波特性正確選擇其中一類 [8]。 下 面介紹下典型的窗函數： 常見的窗函數有矩形窗（ Rectangle Window ）、 三 角 形 窗（ Bartlerr Window）、漢寧（ Hanning）窗 —— 升余弦窗、哈明（ Hamming）窗—— 改 進的 升余 弦窗 、布 萊克 曼（ Blackman） 窗、 凱塞 — 貝塞 爾窗（ KaiserBasel Window） 1矩形窗（ Rectangle Window） 矩形窗屬于時間變量的零次冪窗。矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優(yōu)點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，并有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻干擾 和泄漏，甚至出現負譜現象。 矩形窗的窗函數為： 天津大學仁愛學院 2020 屆本科生畢業(yè)生設計（論文） 7 ????? ???otherwiseNnnR0211)(? （ 45） 其頻譜的幅度函數為： )2/sin( )2/sin()( ??? NW kR （ 46） 2三角形窗（ Bartlett Window） 三角窗亦稱費杰（ Fejer）窗，是冪窗的一次方形式。與矩形窗比較，主瓣寬約等于矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣。 三角形窗的窗函數為： ??????????????????1)1(21122)1(21012)(NnNN nNnN nnB (47) 其頻譜的幅度函數為： 2)2/sin( )4/sin(2)( ??? ???? ??? NNW gB （ 48） 3漢寧（ Hanning）窗 升余弦窗 漢寧窗又稱升余弦窗，漢寧窗可以看作是 3個矩形時間窗的頻譜之和 ， 或者說是3個 sinc（ t）型函數之和，而括號中的兩項相對于第一個譜窗向左、右各移動了 π/T ，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能?？梢钥闯?，漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗．但漢寧窗主瓣加寬，相當于分析帶寬加 寬， 頻率 分辨力下降。 漢寧窗的窗函數為： ????? ?????otherwiseNnN nnH 0)( ?? (49) 4哈明（ Hamming） 窗 ———— 改進的升余弦窗 這種改進的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占 %，瓣峰值幅度為 40dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為 8π /一種高效窗函數，所以 Matlab 窗函數設計函數的默認窗函數就是哈明窗。 哈明窗的窗函數為： 天津大學仁愛學院 2020 屆本科生畢業(yè)生設計（論文） 8 ????? ?????otherwiseNnN nnH 0)( ?? (410) 其幅度函數為： (411) 5布萊克曼（ Blackman） 窗 該窗函數位移不同，幅度函數也不同，會使旁瓣進一步抵消，主瓣寬度為 12π /N。 布萊克曼窗的窗函數為： ????? ???????otherwiseNnNnNnnB021)11()(??? (412) 其頻譜的幅度函數為： )]14()14([)]12()12([)()(?????????????NWNWWNWWWRRRRRB?????????? (413) 6凱撒 —— 貝賽爾窗（ KaiserBasel Window） 凱塞窗是一種最優(yōu)窗函數，不同于前面五種窗函數，凱塞窗是一種參數可調的窗函數，其函數形式如下： 10)( )()( ???? NnIIn ooK ??? (414) 其中 212 ]21[1)()112(1 ???? ??????? ???ko kINn (415) 一般 取 1525 項可以滿足精度要求。 參數可以控制窗的形狀。一般 越大，主瓣越寬，而旁瓣幅度會隨之減小，典型的 數據在 4 到 9 之間。表 41是介紹 6 種窗函數的基本參數 天津大學仁愛學院 2020 屆本科生畢業(yè)生設計（論文） 9 表 41 6種窗函數的基本參數 利用頻率采樣法設計 FIR 數字濾波器 頻率抽樣法是從頻域出發(fā)，在頻域直接設計，把給定的理想頻率響應)( ?jd eH加以等間隔抽樣，并以此作為實際 FIR 濾波器的頻率響應。設所需要的濾波器的頻率響應為)( ?jd eH。 現要求設計一個 M階的 FIR 濾波器 h[k]，使得)( ?jd eH在 M+1 個抽樣點上，FIR 濾波器的頻率響應)( ?jd e與所需的頻率響應j相等，即 MmekheHe Mk jkjjd m ,... .,1,0,][)()( 0 ??? ?? ???? (416) )(?jd eH由設計的要求給定， h[k]需要通過設計來確定。如果 M+1 個方程是線性無關的，則可以通過求解 M+1 階線性方程來得出 FIR 濾波器的 h[k]。對m的一些特殊抽樣方法，上述方程的解可以直接由 IDFT 得到。由于要求設計出的濾波器是實系數的線性相位 FIR 濾波器，所以)( ?jd eH的抽樣值還需要滿足線性相位濾波器的約束條件。 I 型和 II 型線性相位濾波器的0??， III 型和 IV 型線性相位濾波器的2π??。為了使設計出的濾波器具有線性相位，)( ?jd eH在 M+1 個抽樣點上的值 ][mHd應為 ][)12()(][1112mAeeMmAeeeHmHdmMMjjdmMMjjMjdd?????????????? ? (417) 下面分別討論四種線性相位濾波器在抽樣點][mHd上的值： I型（ M為偶數， h[k]偶對稱）線性相位 FIR濾波器在 M+1 個抽樣點值為 窗函數類型 分瓣峰值（ dB） 過度帶寬度 (P/N) 阻帶最小衰減（ dB） 矩形窗 13 4 21 三角窗 25 8 25 漢寧窗 31 8 44 哈明窗 41 8 53 布萊克曼窗 57 12 74 凱賽窗 57 80 天津大學仁愛學院 2020 屆本科生畢業(yè)生設計（論文） 10 ???????????? ??)12/](1[)2/0(][][ 1MMmMHMmemAmHdMMjdd? (418) 上式表明 I 型線性相位 FIR 濾波器][mHd在 MmM ???12/的值可由][mHd在 2/1 M??的值確定。在][d的值確定以后，對][mHd做 M+1 點的IDFT 即可得到 I型線性相位濾波器的 h[k]。 II 型（ M為奇數， h[k]偶對稱）線性相位 FIR 濾波器在 M+1 個抽樣點值為 ?????????????????????)12/)3](1[)2/)1((0)2/)1(0(][][1MmMmMHMmMmemAmHdmM Mjdd? (419) 上式表明 II 型線性相位 FIR 濾波器][mHd在MmM ???? 12/)3(的值可由][mHd在2/)1(1 ??? Mm的值確定。 III 型（ M為偶數， h[k]奇對稱）線性相位 FIR 濾波器在 M+1 個抽樣點值為 ????????????? ??)12/[)2/1(][)0(0][ 1MmMmemjAmmHdmM Mjdd? (420) 上式表明 III 型濾波器線性相位 FIR 濾波器][mHd在MmM ???12/的值可由][mHd在2/1 M??的值來確定。 IV 型（ M 為奇數， h[k]奇對稱）線性相位 FIR 濾波器在 M+1 個抽樣點值為 ????????????????? ??)2/)3](1[)2/)1(1(][)0(0][ 1MmMmMHMmemjAmmdmM Mjdd? (421) 上式表明 IV 型線性相位 FIR 濾波器][mHd在的值可MmM ??? 2/)3(由][mHd在2/)1(1 ??? Mm的值確定。 對)( ?jd eH進行頻率抽樣，就是在 z平面單位圓上的 N個等間隔點上抽樣出頻率響應值。在單位圓上可以有兩種抽樣方式，第一種是第一個抽樣點在 w=0處，第二種是第一個抽樣點在 w=?/M 處，每種方式可分為 M 為偶數與 M 為奇數天津大學仁愛學院 2020 屆本科生畢業(yè)生設計（論文） 11 兩種。 為了提高逼近質量，使逼近誤差更小，也就是減小在通帶邊緣由于抽樣點的徒然變化而引起的起伏變化（這種起伏振蕩使阻帶內最小衰減變小，例如從衰減30dB 變小為衰減 20dB）。和窗口法的平滑截斷一樣，這里是使理想頻率響應的不連續(xù)點的邊緣加上了一些過渡的抽樣點（在這些點上抽樣的最佳值由計算機算出），從而增加過渡帶，減小頻帶邊緣的突變，也就是減小了起伏