高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第三章11橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(編輯修改稿)
2024-12-23 19:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＋y 235 ＝ 1 ，在 y軸上時(shí)，方程為y 236 ＋x 235 ＝ 1. 答案： D 解： 依題意，可設(shè)橢圓 C 的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ，且可知左焦點(diǎn)為 F ′( － 2,0) ． 從而有????? c ＝ 2 ，2 a ＝ | AF |＋ | AF ′| ＝ 3 ＋ 5 ＝ 8 ，解得????? c ＝ 2 ，a ＝ 4. 又 a2＝ b2＋ c2，所以 b2＝ 12 ， 故橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216＋y212＝ 1. 2．已知橢圓 C經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,3)，且點(diǎn) F(2,0)為其右焦點(diǎn)，求 橢圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解： 法一： 若焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 依題意，有????? 4a2 ＝ 1 ，1a2 ＋34 b2 ＝ 1 ，解得 a2＝ 4 ， b2＝ 1. 3 ． 求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過(guò)點(diǎn) A (2,0) 和 B????????1 ， 32 的橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程． 若焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)橢圓方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ，同理????? a2＝ 1 ，b2＝ 4 ，這與 a b 矛盾． 故所求橢圓方程為x24＋ y2＝ 1. 法二： 設(shè)橢圓的方程為 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ， m ≠ n ) ． 將 A ， B 坐標(biāo)代入得????? 4 m ＝ 1 ，m ＋34n ＝ 1 ， 解得????? m ＝14，n ＝ 1 ，故所求橢圓方程為x24＋ y2＝ 1. [ 例 2] 如圖所示，已知橢圓的方程為x24＋y23＝ 1 ，若點(diǎn) P 在橢圓上， F 1 ， F 2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且 ∠ PF 1 F 2 ＝ 120176。 ，求 △ PF 1 F 2 的面積． [思路點(diǎn)撥 ] 因?yàn)?∠ PF1F2＝ 120176。 ， |F1F2|＝ 2c，所以要求 S△ PF1F2，只要求 |PF1|即可．可由橢圓的定義 |PF1|＋ |PF2|＝ 2a，并結(jié)合余弦定理求解． [ 精解詳析 ] 由已知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， 所以 c ＝ a2－ b2＝ 1 ， | F1F2|＝ 2 c ＝ 2 ， 在 △ PF1F2中，由余弦定理得 | PF2|2＝ | PF1|2＋ | F1F2|2－ 2| PF1| | F1F2| cos 120176。 ， 即 | PF2|2＝ | PF1|2＋ 4 ＋ 2| PF1|. ① 由橢圓定義，得 |
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