高中數(shù)學(xué)232平面與平面垂直的判定課件新人教a版必修2(編輯修改稿)
2024-12-23 17:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1A1是二面角 D － C1F － A1的平面角． 由已知 A1D ＝ A1C1，則 ∠ DC1A1＝ 45176。 . 故所求二面角的大小為 45176。 . [類(lèi)題通法 ] 解決二面角問(wèn)題的策略 清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn)．求二面角的大小的方法為：一作，即先作出二面角的平面角；二證，即說(shuō)明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關(guān)鍵是“作”． [ 活學(xué)活用 ] 2. 如圖所示，在 △ AB C 中， AB ⊥ BC ， SA ⊥ 平面 A BC ， DE垂直平分 SC ，且分別交 AC ， SC 于點(diǎn) D ， E ，又 SA ＝ AB ，SB ＝ BC ，求二面角 E － BD － C 的大?。? 解： ∵ E 為 SC 中點(diǎn)，且 SB ＝ BC ， ∴ BE ⊥ SC .又 DE ⊥ SC ， BE ∩ DE ＝ E ， ∴ SC ⊥ 平面 B D E ， ∴ BD ⊥ SC .又 SA ⊥ 平面 ABC ， 可得 SA ⊥ BD ， SC ∩ SA ＝ S ， ∴ BD ⊥ 平面 S A C ，從而 BD ⊥ AC ， BD ⊥ DE ， ∴∠ E DC 為二面角 E － BD － C 的平面角． 設(shè) SA ＝ AB ＝ 1. △ A B C 中， ∵ AB ⊥ BC ， ∴ SB ＝ BC ＝ 2 ， AC ＝ 3 ， ∴ SC ＝ 2. 在 Rt △ S A C 中， ∠ D C S ＝ 30 176。 ， ∴∠ E DC ＝ 60176。 ，即二面角 E － BD － C 為 60176。 . 線(xiàn)面、面面垂直的綜合問(wèn)題 [ 例 3] 如圖，在四棱錐 P － AB CD 中，底面是邊長(zhǎng)為 a的正方形，側(cè)棱 PD ＝ a ， PA ＝ PC ＝ 2 a ，求證： ( 1) PD ⊥ 平面 A BC D ； ( 2) 平面 P A C ⊥ 平面 P B D ； ( 3) 二面角 P － BC － D 是 45176。 的二面角． [ 證明 ] ( 1) ∵ PD ＝ a ， DC ＝ a ， PC ＝ 2 a ， ∴ PC2＝ PD2＋ DC2. 則 PD ⊥ DC . 同理可證 PD ⊥ AD .又 ∵ AD ∩ DC ＝ D ，且 AD ， DC ?平面 A BC D ， ∴ PD ⊥ 平面 A BC D . (2) 由 (1) 知 PD ⊥ 平面 A B C D ，又 ∵ AC ? 平面 ABCD ， ∴ PD ⊥ AC . ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD . 又 ∵ BD ∩ PD ＝ D ，且 PD ， BD ? 平面 PBD ， ∴ AC ⊥ 平面 PBD . 又 ∵ AC ? 平面 P A C ， ∴ 平面 P A C ⊥ 平面 PB D . (3) 由 (1) 知 PD ⊥ BC ， 又 ∵ BC ⊥ DC ，且 PD ， DC 為平面 PDC 內(nèi)兩條相交直線(xiàn)， ∴ BC ⊥ 平面 PDC . ∵ PC ? 平面 PDC ， ∴ BC ⊥ PC . 則 ∠ PCD 為二面角 P － BC － D 的平面角． 在 Rt △ PDC 中， ∵ PD ＝ DC ＝ a ， ∴∠ PCD ＝ 45176。 ， 即二面角 P － BC － D 是 45176。 的二面角． [類(lèi)題通法 ] 本題是涉及線(xiàn)面垂直、面面垂直、二面角的求法等諸多知識(shí)點(diǎn)的一道綜合題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化：線(xiàn)線(xiàn)垂直 ?線(xiàn)面垂直 ?面面垂直． [ 活學(xué)活用 ] 3. △ ABC 為正三角形， EC ⊥ 平面 A BC ， BD ∥ CE ，且 CE＝ CA ＝ 2 BD ， M 是 EA 的中點(diǎn)．求證： ( 1) DE ＝ DA ； ( 2) 平面 BDM ⊥ 平面 E CA ； ( 3) 平面 DEA ⊥ 平面 EC A . 證明： ( 1) 設(shè) BD ＝ a ，作 DF ∥ BC 交 CE 于 F ， 則 CF ＝ DB ＝ a .因?yàn)?CE ⊥ 面 ABC ， 所以 BC ⊥ CF ， DF ⊥ EC ， 所以 DE ＝ EF2＋ DF2＝ 5 a . 又因?yàn)?DB ⊥ 面 A BC ， 所以 DA ＝ DB2＋ AB2＝ 5 a ， 所以 D
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