【文章內(nèi)容簡介】 希克斯需求的唯一性也是一個基本問題。如果唯一性成立，則消費從支出最小化角度的選擇便是明確的。n 唯一性 定理 設 消費集合 X 是凸集，偏好 ? 連續(xù)且嚴格凸，則對于服從最低支出限制的任何價格向量 p 和消費方案 x?X ， ?？怂剐枨蠹?H( p, x)中最多只有一種消費方案。 反證法： 假如存在 y?, y? ?H( p, x), y? ? y? ,如右圖所示 , 則 p y? = p y? = e( p, x) I( p), 從而存在 w?X 滿足 p w p y ?。這樣， w ? x。 ? 的嚴格凸性保證了 y ? x。 ? 的連續(xù)性保證了在連接 w 和 y 的線段上存在 z 滿足： z ~ x 且 p z p y= p y?。這與 y? ?H( p, x)相 矛盾！xy? ?H( p, x)y? ?H( p, x)y = –( y?+y? )wz12(三 ) 希克斯需求的保效性n 保效性定理 設消費集合 X 是凸集，偏好 ? 連續(xù) , 則對服從最低支出限制的任何價格向量 p 和消費方案 x?X ，?？怂剐枨蠹螲( p, x)中的每種方案都與 x 無差異。 y?H( p, x), y ? xw ? x p w p y 反證法：假如存在 y?H( p, x)使 y ? x。則存在 w?X 使得 p w p y且 w ? x。 z ? x , p z p yx?X p 偏好 ? 的連續(xù)性保證了在連接 w和 y 的線段上，存在一點 z 使得 z ~ x且 p z p y。這與 y ?H( p, x)相 矛盾！ ?u條件分析 ： p?0的要求在?？怂剐枨蟠嬖谛灾胁豢缮?， 最低支出條件 e( p, x) I( p)在希克斯需求唯一性不可少。這樣，由 p?0 和 e( p, x) I( p) 確定的 價格 方案 組合具有特別重要的意義。鑒于此，我們用 ? 來專門表示這種 價格 方案 組合的全體，即? = {( p, x)?R ? X : ( p ? 0)?(e( p, x) I( p))}三、?？怂剐枨笥成? ?？怂剐枨蟮拇嬖谛院臀ㄒ恍员砻鳎诩僭O HC 和偏好關系連續(xù)、嚴格凸的條件下，希克斯需求確定了一個映射 h: ??X 如下：(?( p, x)??)( H( p, x)={h( p, x)})即 h( p, x) 就是 H( p, x) 中的那個唯一的方案。 稱這個映射 h: ?? X 為消費者的 希克斯需求映射 。該映射的每一個分量函數(shù) hi( p, x) 稱為消費者的 ?？怂剐枨蠛瘮?shù) ( i = 1,2,? ,?)。 顯然，?？怂剐枨笥成渚哂邢率鋈龡l性質(zhì)：零階齊次性 ： 對任何 ( p, x)?? 及實數(shù) t 0，都有 h( t p, x) = h( p, x)。效用不變性： 對任何 ( p, x)??， h( p, x) ~ x 。反向變動性： 對任何 ( p, x), (q, x)??， ( p ? q)( h( p, x) ? h( q, x)) ? 0。即 價格與需求反向變動。?四、效用與支出的對偶從表面上看，效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化問題，支出最小化的希克斯需求也沒有考慮效用最大化問題。其實并非如此，效用最大化與支出最小化是相互對偶的問題。 n 對偶定理 設消費集合 X 是 的下有界非空凸閉子集， ? 是無滿足的連續(xù)凸偏好。對任何 ( p, r)??? 和 ( p, x)??，都有：(1) (?z?D( p, r))( z?H( p, z))， 即效用最大時支出也最小 ；(2) (?z?H( p, x))( z?D( p, e( p, x)))， 即支出最小時效用也最大 ；(3) 如果 ? 還嚴格凸 , 則 ? ( p, r) = h( p, ? ( p, r))且 h( p, x) = ? ( p, e( p, x))。 對偶定理說明，馬歇爾需求與?？怂剐枨笠恢?。既然如此，消費最優(yōu)化問題就既可以從效用最大化出發(fā)，也可以從支出最小化出發(fā)來解決。鑒于這個原因，今后我們直接從效用最大化出發(fā)來研究消費者需求。凡提到需求，如無特殊說明，均指馬歇爾需求。z167。3 消費者均衡 消費者均衡 是指 消費者的效用最大化狀態(tài) 。因此，也可以把馬歇爾需求向 量 x*?D( p, r) 叫做消費者的 均衡向量 。問題是：怎樣才能實現(xiàn)均衡？ 使用效用函數(shù)，可以對這個問題作出回答。為此，我們將根據(jù)具體情況，要使用如下一些假設中的一個或幾個：(1) (X, ? )是理性消費者 ， 即 X 滿足假設 HC， ? 連續(xù) 、凸、 無滿足 ；(2) ? 的 效用函數(shù) u: X ? R 滿足假設 HU；(3) 消費者均衡 x* 在消費集合內(nèi)部實現(xiàn) ， 即 x*?D( p, r) ? X ?。假定價格體系為 p 0，消費者收入為 r。利用效用函數(shù) u(x)，效用最大化問題可表述為： max u(x) . px ? r。在需求服從瓦爾拉定律的情況下，不等式約束 “ p x ? r” 可用等式約束 “ p x = r” 替代 ，從而效用最大化問題變得更加明確： 在需求服從瓦爾拉定律的情況下，效用最大化問題可用拉格朗日乘數(shù)法求解。首先，構造拉格朗日函數(shù) L(x, ? ) = u(x) + ? (r – p x)；然后，設 x*?X ? 是效用最大化問題的解；最后，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，存在實數(shù) ? 使得 L(x, ? )在 (x*, ?) 處的各個一階偏導數(shù)全為零： 這就是說，消費者的均衡向量 x* 必然是方程組 的解。鑒于這個原因，我們把方程組 叫做 效用最大化 邊際方程 或 邊際等式 (marginal equation)，其中實數(shù) ? 叫做 拉格朗日乘數(shù) ，簡稱 拉氏乘數(shù) ， 。 邊際方程的重要作用在于它表達了消費者實現(xiàn)效用最大化的一階條件：不但是必要條件，而且是充分條件。一、 實現(xiàn)均衡的一階條件 證明：在定理的條件下，效用最大化只能在預算線上實現(xiàn)，于是根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可知，存在實數(shù) ? 使得 u ?(x*) = ? p 且 p x* = r?，F(xiàn)在，我們只需證明拉氏乘數(shù) ? 0。 注意，定理的條件保證了 u?(x*) ? 0。 而 x*?D( p, r)? X ? 又保證了 u?(x*) ? 0，這是因為對任何 x?X，若 x x*， 則 px ? px* = r，從而 u(x) ? u(x*)。由此便可推知 u?(x*) ? 0。結果 u ?(x*) 0