【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n維效用空間是一個(gè)有2n個(gè)頂點(diǎn)的凸多面體 , 唯一點(diǎn) Q*（ 1， 1， … ， 1）是并合效用最大值點(diǎn)，即 W（ Q*） =1. 唯一零效用值點(diǎn) Qo（ 0， 0， … ， 0），即 W（ Qo）＝ 0 . n維效用空間任一點(diǎn) Q（ u1， u2， … ， un）與點(diǎn) Q*之間的距離為二、多維效用并合規(guī)則 點(diǎn) Q*與 Qo之間的距離為 ．于是，同樣可以推出 n維效用并合的距離規(guī)則計(jì)算公式為d=（ ）例如： 成本和效益的效用并合可以按距離規(guī)則進(jìn)行，并合效用函數(shù) 二、多維效用并合規(guī)則② W（ 0， 0） =0；① W（ 1， 1） =1；③ w( 1,u2) =1, 0≤u2≤1 w(u1,1) =1, 0≤u1≤1 設(shè)代換規(guī)則所確定的二維效用函數(shù) w＝ W（ u1， u2），根據(jù)代換規(guī)則的特點(diǎn)，此效用函數(shù)應(yīng)該滿足條件：2．代換規(guī)則滿足條件： 二效用對(duì)決策主體具有同等重要性。 只要其中一個(gè)目標(biāo)的效用取得最大值 → 并合效用也達(dá)到最高水平 二、多維效用并合規(guī)則推廣到多維情形 在 n維效用空間中，除點(diǎn) Qo（ 0， 0， … ， 0）并合效用值為零以外 ，凸多面體效用空間的其余 2n－ 1個(gè)頂點(diǎn)的總效用值均等于 1． () ()由上述條件，容易導(dǎo)出代換規(guī)則的二維效用并合公式為n維效用并合的代換公式為二、多維效用并合規(guī)則① W（ 1， 1） =1；3．加法規(guī)則 適用情況： 二效用的變化具有相關(guān)性，對(duì)并合效用的貢獻(xiàn)沒(méi)有本質(zhì)差異，并且可以互相線性地補(bǔ)償，即一目標(biāo)效用的減少可以由另一目標(biāo)效用值的增加得到補(bǔ)償 . 完滿的總效用只有當(dāng)二效用值均達(dá)到最高水平時(shí)才能實(shí)現(xiàn)． 加法規(guī)則所確定的二維效用函數(shù) W＝ W（ u1， u2），應(yīng)滿足如下條件：② W（ 0， 0） =0；③ 0＜ w(1,0) =ρ1 ， W(0,1)=ρ2 ， 并且 ρ1+ρ2=1.二、多維效用并合規(guī)則根據(jù)上述條件，容易導(dǎo)出加法規(guī)則的二維效用并合公式為 推廣到一般情形 n維效用空間 ， 除 W（ Q*） =1， W（ Qo） =0外，其余 2n－ 2個(gè)頂點(diǎn)的并合效用值均在 0和 1之間 。 其中僅有一維效用值為 1，其余維效用值為 0的 n個(gè)點(diǎn)的并合效用值大小，由該效用對(duì)并合效用的重要程度來(lái)決定。 其中， ρ1,ρ2為常數(shù)， 0≤ρi≤1（ i＝ 1， 2），稱為二效用 u1， u2的權(quán)系數(shù)，表示二效用各自在并合中的重要程度．二、多維效用并合規(guī)則（ ）加法規(guī)則的 n維并合效用公式為例如，居民消費(fèi)水平目標(biāo)可以分解為 吃、用 兩個(gè)子目標(biāo)，其中一個(gè)子目標(biāo)效用值減少，而另一個(gè)子目標(biāo)效用值增加，可以認(rèn)為它們之間 相互能夠補(bǔ)償 ，居民消費(fèi)水平并沒(méi)有下降． ρi稱為第 i個(gè)目標(biāo)效用的 權(quán)系數(shù) ．其中二、多維效用并合規(guī)則① W（ 1， 1） =1；② W（ 0， 0） =0；③ W（ 1， 0） =W（ 0， 1） =0；4．乘法規(guī)則 乘法規(guī)則確定的二維效用函數(shù) W＝ W（ u1,u2），應(yīng)滿足如下條件：適用情況： 二目標(biāo)效用對(duì)于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代。只要其中任意一個(gè)目標(biāo)效用值為 0，無(wú)論另一個(gè)目標(biāo)效用取值多大，并合效用值均為 0． 二目標(biāo)效用對(duì)于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代．二、多維效用并合規(guī)則根據(jù)乘法法則與代換法則的關(guān)系，容易導(dǎo)出乘法法則的二維效用并合公式．由公式（ ），有 令于是，得到乘法法則并合效用計(jì)算公式是正常數(shù)．其中，乘法法則效用并合更一般的計(jì)算公式是當(dāng)時(shí)，即為公式 （ ）． ()()二、多維效用并合規(guī)則更一般的計(jì)算公式是 也可以表示為對(duì)數(shù)形式，即 其中， 是正常數(shù)．當(dāng) 時(shí)，即為公式（ ）． ()() ()推廣到多維情形 n維效用空間 ， 其凸多面體 個(gè)頂點(diǎn)，除點(diǎn) Q*的并合效用值等于 1之外，其余 個(gè)頂點(diǎn)的并合效用值均為 0． n維效用并合乘法規(guī)律的計(jì)算公式為二、多維效用并合規(guī)則 () ()5．混合規(guī)則混合規(guī)則適用于各目標(biāo)效用之間較為復(fù)雜的關(guān)系 ， 當(dāng)代換、加法和乘法三規(guī)則 選用哪一種拿不準(zhǔn)時(shí) ，可以使用混合規(guī)則。 混合規(guī)則的二維效用并合公式，可由代換規(guī)則二維效用并合公式（ ）變化而得，用 代替當(dāng) ≠0時(shí)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單恒等變形，公式（ ）可以化為較為規(guī)范的形式則有γ≥1稱為形式因子， γ取不同 值 分 別 表示上述三種 規(guī)則 ：二、多維效用并合規(guī)則當(dāng)形式因子 ＝－ 1，且 c1＝ c2=1時(shí)，公式化為代換規(guī)則形式，即 ()當(dāng) γ= 0時(shí)， c1+c2=1時(shí)，公式化為加法規(guī)則形式；即當(dāng) ＞＞ 0時(shí)，公式近似于乘法規(guī)則形式，即推廣到 n維情形，混合規(guī)則的 n維效用并合公式為三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo) 實(shí)例是西安交通大學(xué)系統(tǒng)工程研究所已完成的研究課題，引用已發(fā)表的部分資料． （ 應(yīng)用多維效用并合方法 ）問(wèn)題 在 100年內(nèi)，我國(guó)人口控制最合理的總目標(biāo)是多少 ？背景我國(guó)人口發(fā)展周期，應(yīng)是人均壽命 70年．制定人口控制目標(biāo)方案，宜以100年為時(shí)間范圍． 方案對(duì)我國(guó)總?cè)丝谀繕?biāo)的 14個(gè)方案進(jìn)行決策分析，即我國(guó)總?cè)丝诜謩e控制為 2億~15億． 14個(gè)人口方案分別記為 ai，其滿意度分別設(shè)為 Hi（ i＝ 1~ 14）． 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n 3．目標(biāo)準(zhǔn)則體系 （ 序列型，簡(jiǎn)化處理 ,共分為五個(gè)層次 ） ① 總目標(biāo)： 100年內(nèi)我國(guó)最合理的人口目標(biāo)． ② 分目標(biāo)：共設(shè)四個(gè)分目標(biāo)． 分目標(biāo) 1．根據(jù)我國(guó)資源和環(huán)境條件，在決策分析的時(shí)間范圍內(nèi)，能 承受的供全國(guó)人民吃和用的能力，簡(jiǎn)稱 “吃用 ”． 分目標(biāo) 2．根據(jù)我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃，與總?cè)丝谀繕?biāo)相適應(yīng)的經(jīng)濟(jì) 實(shí)力，簡(jiǎn)稱 “實(shí)力 ” 分目標(biāo) 3．根據(jù)我國(guó)計(jì)劃生育政策，人民群眾所能接受的最低總和生 育率，大約等于一對(duì)夫婦一生中平均生育孩子數(shù)，簡(jiǎn)記為 “ ”． 分目標(biāo) 4．我國(guó)總?cè)丝谠鲩L(zhǎng)要與世界各國(guó)人口增長(zhǎng)相適應(yīng)．一個(gè)國(guó)家 人口太多，將成為社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的沉重負(fù)擔(dān)．但人口畢竟 是一個(gè)國(guó)家的重要資源，也不宜太少．和世界各國(guó)人口對(duì) 比，簡(jiǎn)稱 “各國(guó)對(duì)比 ”． 以上四個(gè)分目標(biāo)，在計(jì)算并合效用時(shí)， 將 “吃用 ”和 “實(shí)力 ”并合為效用值V1， “ ”和 “各國(guó)對(duì)比 ”并合為效用值 V2．我國(guó)人口總目標(biāo) HV1 V2（ ）三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n “吃 ”分解為人均糧食需求和人均魚肉需求兩個(gè)更低一層的子目標(biāo)，簡(jiǎn)稱 “糧食 ”和 “魚肉 ”．n “用 ”也可以分解為人均土地需求、人均空氣需求、人均用水需求三個(gè)低一層子目標(biāo)，簡(jiǎn)稱 “土地 ”、 “空氣 ”、 “水 ”。 ?③ 子目標(biāo)：需要作進(jìn)一步地分解． 吃 w1糧食u1魚肉u2（ ）用 w2土地u3空氣u4水u5（ ）（ ）三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n 分目標(biāo) “實(shí)力 ”可以分解為人均能源需求和人均國(guó)民生產(chǎn)總值兩個(gè)子目標(biāo)，簡(jiǎn)稱 “能源 ”和 “GNP”． 分目標(biāo) “吃用 ”最后分解為 5個(gè)最底一層子目標(biāo)，其評(píng)價(jià)效用值分別為 ui（ i＝ l， 2， … ， 5）． “能源 ”和 “GNP”其評(píng)價(jià)效用值分別記為 u6， u7， 分目標(biāo) “”和 “各國(guó)對(duì)比 ”均可以用單一準(zhǔn)則評(píng)價(jià)，故不必分解，其效用值分別記為u8， u9．實(shí)力 v2能源u6GNPu7（ ）三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n 目標(biāo)準(zhǔn)則體系為 （圖 ）我國(guó)人口總目標(biāo) HV1吃 w1糧食u1實(shí)力 v2用 w2魚肉u2土地u3圖 （ ）V2吃用 v1空氣u4水u5Βminu8各國(guó)對(duì)比u9能源u6GNPu7（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ +）（ +）三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n 4．評(píng)價(jià)準(zhǔn)則和效用 分別用 9個(gè)準(zhǔn)則評(píng)價(jià)度量，測(cè)定相應(yīng)的效用函數(shù)，計(jì)算各人口方案的效用值． ① 糧食 按照聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織有關(guān)人均耗糧標(biāo)準(zhǔn)資料測(cè)算，總?cè)丝跀?shù) N＜ =，人均糧食需求量為最優(yōu)值，取 N*＝ 12. 6億，效用值 u1（ N*）＝ 1．總?cè)丝跀?shù) N＞ =64． 8億，人均糧食需求量為最劣值，取 No=64． 8億， u1（ No） =0． 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n 根據(jù)效用函數(shù)導(dǎo)出方法，可以求出 “糧食 ”準(zhǔn)則的效用函數(shù)n U＝ U1（ N） （圖 ），并計(jì)算出 14個(gè)方案的效用值圖 u1三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n ② 土地 按照人均耕地增長(zhǎng)和人口總數(shù)增長(zhǎng)比例測(cè)算認(rèn)定，總?cè)丝跀?shù) N＜ 10億時(shí)，人均土地占有量為最優(yōu)值，取 N* ＝ 10．當(dāng)總?cè)丝跀?shù) N＞ ，人均土地占有量為最劣值，取 No＝ 億． 導(dǎo)出 “土地 ”準(zhǔn)則的效用函數(shù) u＝ u3（ N）（圖 ），并計(jì)算出 N個(gè)方案的效用值，即 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例③ 水 根據(jù)我國(guó)人口增長(zhǎng)、工農(nóng)業(yè)生活用水量增長(zhǎng)和水資源開(kāi)發(fā)利用等情況，結(jié)合世界各國(guó)用水資料對(duì)比分析，認(rèn)定總?cè)丝跀?shù) N=，人均用水需求量準(zhǔn)則其效用為最優(yōu)值，取 N*＝ ． 圖 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例當(dāng)總?cè)丝跀?shù) N＞ 54億時(shí)，人均用水需求量準(zhǔn)則其效用為最劣值，取 No＝ 54億，導(dǎo)出相應(yīng)效用函數(shù)u＝ u5（ N） （ 圖 ），并計(jì)算各方案的效用值，即 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n ④ 能源 按世界各國(guó)人均能源需求標(biāo)準(zhǔn)測(cè)算，認(rèn)定總?cè)丝? N=，人均能源需求量的效用最優(yōu)，取 N*= ． 圖 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例 隨著總?cè)丝谠黾?，其效用值逐漸減少，當(dāng)總?cè)丝诔^(guò) 50億時(shí)，其效用值接近于 0．導(dǎo)出能源目標(biāo)準(zhǔn)則效用函數(shù) u=u6（ N）（圖 ），計(jì)算各方案的效用值．即圖 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例⑤ 認(rèn)定總?cè)丝跀?shù) N＞ = 7億時(shí)，目標(biāo)效用值最優(yōu)，取 N*＝ 7億．假設(shè) 100年內(nèi)一胎率達(dá)到 100％，預(yù)測(cè) 100年后總?cè)丝跀?shù)為 ～ ，根據(jù)我國(guó)國(guó)情難以實(shí)現(xiàn)． 由此，認(rèn)定 N=3時(shí)，目標(biāo)效用值最劣，取 No= 3億．導(dǎo)出目標(biāo)的效用函數(shù) u＝ u8（ N）（圖 ），各方案的效用值依次為圖 三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例n 5．多維效用并合過(guò)程 按照目標(biāo)準(zhǔn)則體系層次結(jié)構(gòu)（圖 ）。從下至上逐層進(jìn)行效用并合．最底一層 9個(gè)子目標(biāo)和分目標(biāo)分為四類進(jìn)行并合． ① u1（糧食）、 u2（魚肉）．兩者強(qiáng)烈關(guān)聯(lián)，對(duì)于解決 “吃 ”的問(wèn)題，”糧食 ”和 “魚肉 ”不可缺一．即其中一種十分缺乏，而另一種相當(dāng)充足，并合效用都是不滿意的．因此，兩者并合宜用乘法規(guī)則，并在層次結(jié)構(gòu)圖中 u1， u2兩分枝交叉處注明乘法規(guī)則記號(hào) “.” 糧食u1魚肉u2（ ）三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例② u3（土地）， u4（空氣）， u5（水）．這三個(gè)子目標(biāo)效用并合，先將 u4,u5并合，再與 u3并合． “空氣 ”和“水 ”二目標(biāo)缺一不可，相互不能代換和補(bǔ)償，宜用乘法規(guī)則并合．并合結(jié)果再與 “土地 ”的效用 u3并合，也宜用乘法規(guī)則．并將并合規(guī)則符號(hào)注明在圖上相應(yīng)處． 土地u3空氣u4水u5（ ）（ ）三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例③ u6（能源）， u7（GNP）．兩者不可缺一，相互不能代換和補(bǔ)償，宜用乘法規(guī)則并合，在圖上注明記號(hào)． ④ u8（ ）， u9（各國(guó)對(duì)比）．二目標(biāo)效用同樣宜用乘法規(guī)則并合，并注明記號(hào)． Βminu8各國(guó)對(duì)比u9（ ）能源u6GNPu7（ ）三、多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例上述四類目標(biāo)效用并合結(jié)果