期權(quán)回報(bào)與價(jià)格分析(編輯修改稿)
2025-03-07 18:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 執(zhí) 行 對(duì)于無收益的美式看漲期權(quán)，提前執(zhí)行是不明智的。 證明：構(gòu)建兩個(gè)組合如下： 組合 A：一份美式看漲期權(quán)加上金額為 執(zhí)行價(jià)格 X的現(xiàn)值 的現(xiàn)金 組合 B：一單位標(biāo)的資產(chǎn) 24 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 情形一：在 T時(shí)刻，組合 A的現(xiàn)金變?yōu)?X，組合 A的價(jià)值為 max（ ST，X）。而組合 B的價(jià)值為 ST，可見，組合 A在T時(shí)刻的價(jià)值一定大于等于組合 B。這意味著，如果不提前執(zhí)行，組合 A的價(jià)值一定大于等于組合 B。 25 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 情形二：若該期權(quán)在 τ 時(shí)刻提前執(zhí)行，則提前執(zhí)行看漲期權(quán)所得盈利等于 Sτ X，其中 S表示 τ 時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)的市價(jià)，而此時(shí)現(xiàn)金金額變?yōu)? ，其中 表示 Tτ 時(shí)段的遠(yuǎn)期利率。因此，若提前執(zhí)行的話，在 τ 時(shí)刻組合 A的價(jià) 值 為 ； 而組合B的價(jià)值為 。 由于 ，因此 ,若提前執(zhí)行美式期權(quán)的話，組合 A的價(jià)值將小于組合B。 ? )(TrXe ???r )T(rXeXS ?? ?????? 0r, ?? ??26 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 比較兩種情況我們可以得出結(jié)論：提前執(zhí)行無 收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)是不明智的。因此，同 一種無收益標(biāo)的資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)和歐式看 漲期權(quán)的價(jià)值是相同的，即： C=c 根據(jù) C=c，我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲 期權(quán)價(jià)格的下限： ]0,ma x[ )( tTrXeS ????27 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的提前執(zhí)行 為考察提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán) 是否合理，我們考察如下兩種組合： 組合 A：一份美式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn) 組合 B：金額為 的現(xiàn)金 )( tTrXe ??28 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 若不提前執(zhí)行，則到 T時(shí)刻，組合 A的價(jià)值為 max（ X， ST），組合 B的價(jià)值為 X，因此組合 A的 價(jià)值大于等于組合 B。 若在時(shí)刻 提前執(zhí)行，則組合 A的價(jià)值為 X，組合 B的價(jià)值為 ，因此組合 A的價(jià)值也高于組合 B。 ? ??()rTXe ???29 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 比較這兩種結(jié)果我們可以得出結(jié)論：是否提前 執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于 期權(quán)的實(shí)值額（ XS）、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平等因 素。一般來說，只有當(dāng) S相對(duì)于 X來說較低，或 者 r較高時(shí)，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán) 才可能是有利的。 由于無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)可能提前執(zhí)行， 因此其內(nèi)在價(jià)值就是其被執(zhí)行時(shí)回報(bào)的現(xiàn)值， 這里的時(shí)刻 既可能是當(dāng)前時(shí)刻， 也可能是到期 T時(shí)刻，也可能是 T之前的任意時(shí)刻。 相應(yīng)地期權(quán)價(jià)格下限變?yōu)椋? ? ?m a x( , 0)rtXSP e ? ??? ?? ? ?m a x( , 0)rtX e S? ??? ???30 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的提前執(zhí)行 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲 得標(biāo)的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以 派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益 資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。 我們假設(shè)在期權(quán)到期前，標(biāo)的資產(chǎn)有 n個(gè)除權(quán) 日， t1， t2…… ， tn為除權(quán)前的瞬時(shí)時(shí)刻，在這些 時(shí)刻之后的收益分別為 D1， D2， …… ， Dn，在這些 時(shí)刻的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分別為 S1， S2， …… Sn。 31 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 由于在無收益的情況下，不應(yīng)提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)， 我們可以據(jù)此得到一個(gè)推論：在有收益情況下，只有在除 權(quán)前的瞬時(shí)時(shí)刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。 因此我們只需推導(dǎo)在每個(gè)除權(quán)日前提前執(zhí)行的可能性。 我們先來考察在最后一個(gè)除權(quán)日（ tn）提前執(zhí)行的條 件。如果在 tn時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)，則期權(quán)多方獲得 SnX的 收益。若不提前執(zhí)行，則標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格將由于除權(quán)降到 Sn Dn。 根據(jù)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的下限，在 tn時(shí)刻期權(quán)的 價(jià)值（ Cn） ]0,max [ )( ntTrnnnn XeDScC ??????32 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 因此，如果： 即： 則在 tn提前執(zhí)行是不明智的。 相反，如果 則在 tn提前執(zhí)行有可能是合理的。實(shí)際上，只有當(dāng) tn時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格足夠大時(shí)，提前執(zhí)行美式看漲 期權(quán)才是合理的 。 XSXeDS ntTrnn n ???? ?? )(]1[ )( ntTrn eXD ???? ]1[ )( ntTrn eXD ????33 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 同樣，對(duì)于 在 任意 ti時(shí)刻不能提前執(zhí)行有收益 資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是： 由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資 產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價(jià)值大于等于歐式看漲期權(quán)， 其下限為： ]1[ )( 1 ii ttri eXD ?? ??? ? ?m a x( , 0 )rtCc S D X e ? ?? ????? ?34 Copyright
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