【文章內(nèi)容簡介】 P=1 N=2 Z=0 P=1 N=1 （ Cauchy定理） )())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF?????????jvusF ??)( 設(shè) F(s)在 [s]平面上 除有限個奇點(diǎn)外 為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè) [s]平面上解析點(diǎn) s映射到 [F(s)]平面上為點(diǎn) F(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量 F(s)。若在 [s]平面上任意一封閉曲線 Ls，只要此曲線不經(jīng)過 F(s)的奇點(diǎn)， 則在 [F(s)]平面上必有一條對應(yīng)的曲線 LF，也是一條封閉曲線。 當(dāng)解析點(diǎn) s按順時針方向沿 Ls變化一周時 ，向量 F(s)將按順時針方向 旋轉(zhuǎn) N 周 ，即 F(s)以原點(diǎn)為中心順時針旋轉(zhuǎn) N 周，這就等于曲線 LF順時針包圍原點(diǎn) N 次 。若令 Z 為包圍于 Ls內(nèi)的 F(s)的零點(diǎn)數(shù)， P 為包圍于 Ls 內(nèi)的 F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則有 N ＝ Z－ P 取任意拉氏函數(shù)： ??j ][s1s2s ReIm )]([ sF )( 1s )( 2sFFL系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 向量 F(s)的相位為 ???????????njjmii pszssF11)()()(系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 簡要說明 mnpspsps zszszsKsFnm ????????)())(()())(()(2121???j ][s?iz izs?1pz 2p3sLIm)]([ sFReFL )(s系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 假設(shè) Ls 內(nèi)只包圍了 F(s)的 一個零點(diǎn) zi ，其它零極點(diǎn)均位于 Ls 之外，當(dāng) s沿 Ls 順時針移動一周時，向量（ s－ zi ）的相位角變化為－ 2π 弧度，而其余相位角的變化為 0。即向量 F(s)的相位角變化為 － 2π ，或者說 F(s) 在 [F(s)]平面上沿 LF 繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)了一圈。 ???????????njjmii pszssF11)()()(系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 若 [s]平面上的封閉曲線包圍 F(s)的 Z個零點(diǎn)，則在 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)順時針 Z圈，而若 [s]平面內(nèi)的封閉曲線包圍這 F(s)的 P個極點(diǎn)，則平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn) P圈。若 Ls包圍了 F(s)的 Z個零點(diǎn)和 P個極點(diǎn)，則 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將 繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn) N=ZP圈 。 2. Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) :利用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)方框圖對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： )())...()(( )(...))(()()()(2121 mnpspspszszszsKsHsGsGnmK ????????? X i (s) G ( s ) H ( s ) X o (s) 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )(H)(G1)()(sssGsGB ??特征方程 0)(H)(G1 ?? ss )(H)(G1)( sssF ??令 則有： ? ?nnpspspssssssspspspszszszspspspssFnnnmn????????????????????))...()(())...()(())...()(())...()((K))...()(()(2139。21212121系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) )()(G)(1)()()(1)()(sFssGsGsHsGsGsGKB ????? 0)(1)()(1)( ????? sGsHsGsFK因?yàn)?: 特征方程為： ? ?nnpspsps sssssssFnn ?????????))...()(())...()(()(2139。21由此可知， s1,s2,…,s n`是 F(s)的零點(diǎn)，即為 GB(s)的極點(diǎn) ，亦即系統(tǒng)特征方程的根； F(s)的極點(diǎn) p1,p2,…,p n即 GK(s)的極點(diǎn) 。 上述各函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系如下： )(sGBF )(sGK零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 相同 相同 )())...()(( )(...))(()()()(2121 mnpspsps zszszsKsHsGsGnmK ???? ????? )(sGBF )(sGK零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 相同 相同 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 是其閉環(huán)特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部，即在 [s]右半平面內(nèi)沒有極點(diǎn)，也就是說， F(s)在 [s]平面的右半平面沒有零點(diǎn) 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 下面我們通過 幅角原理 導(dǎo)出 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 為研究 F(s)有無零點(diǎn)位于 [s]平面的右半平面 ，可選擇一條包圍整個 [s]右半平面 的 封閉曲線 Ls，如圖。 Ls由兩部分組成，其中， L1為 ω→ － ∞ 到 +∞ 的整個虛軸， L2為半徑 R趨于無窮大的半圓弧。因此， Ls封閉地包圍了整個 [s]平面的右半平面。這一封閉曲線 Ls即為 [s]平面上的 Nyquist 軌跡。當(dāng) ω→ － ∞到 +∞ ，軌跡的方向?yàn)轫槙r針方向。 由于在 應(yīng)用幅角原理 時， Ls不能通過 F(s)函數(shù)的任何極點(diǎn) ，所以當(dāng)函數(shù) F(s)有若干極點(diǎn)處于 [s]平面的虛軸或原點(diǎn)處時，Ls應(yīng)以這些點(diǎn)為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向繞過這些點(diǎn)。由于繞過這些點(diǎn)的圓弧的半徑為無窮小，因此，可以認(rèn)為 Ls曲線仍然包圍了整個 [s]平面的右半平面。 ?j???j??j01L2][s ?j???j??j01L2L][s??系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 設(shè) F(s)＝ 1＋ G(s)H(s)在 [s]右平面有 Z個零點(diǎn)和 P個極點(diǎn) ，由幅角原理， 當(dāng) s沿 [s]平面上的 Nyquist軌跡移動一周時，在 [F]平面上的映射曲線 LF將順時針包圍原點(diǎn) N＝ Z－ P圈 。 因?yàn)?: G(s)H(s)＝ F(s)－ 1 可見 [GH]平面是將 [F]平面的虛軸右移一個單位所構(gòu)成的復(fù)平面。[F]平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是 [GH]平面上的（－ 1， j0）點(diǎn)， F(s)的映射曲線 LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于 G(s)H(s)的映射曲線 LGH包圍（－ 1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。 ImRe )0,1( j?0 )(sF][1FL ImRe )0,1( j? )()( sHsG ][GH1GHL0系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 設(shè) F(s)＝ 1＋ (s) (s)在 [s]右平面有 Z個零點(diǎn)和 P個極點(diǎn) ，由幅角原理， 當(dāng) s沿 [s]平面上的 Nyquist軌跡移動一周時，在 [F]平面上的映射曲線 LF將順時針包圍（ 1， j0） N＝ Z－ P圈 。 對于任何物理上可實(shí)現(xiàn)的開環(huán)系統(tǒng)，其 GK(s)的分母的階次 n 必不小于分子的階次 m ，即 n ≥ m ，故有： 這里 s→∞ 是指 其模 而言，所以， [s]平面上半徑為 ∞ 的半圓映射到 [GH]平面上為原點(diǎn)或?qū)嵼S上的一點(diǎn)。 ? ? ? ? ? ? ? ? mn m n s H s G s 當(dāng) const 當(dāng) 0 ) ( ) ( lim 因?yàn)椋?Ls為 [s]平面上的整個虛軸再加上半徑為無窮大的半圓弧，而 [s]平面上半徑為無窮大的半圓弧映射到 [GH]平面上只是一個點(diǎn)，它對于 G(s)H(s) 的映射曲線 LGH對某點(diǎn)的包圍情況無影響，所以 G(s)H(s)的繞行情況只考慮 [s]平面的虛軸映射到 [GH]平面上的開環(huán) Nyquist軌跡 G(jω )H(jω )即可。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 向量 F(s)的相位為 ???????????njjmii pszssF11)()()( mnpspsps zszszsKsFnm ????????)())(()())(()(2121???j ][s?iz izs?1pz 2p3sLIm )]([ sFReFLF(s) 若 [s]平面上的封閉曲線包圍 F(s)的 Z個零點(diǎn)，則在 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)順時針 Z圈，而若 [s]平面內(nèi)的封閉曲線包圍這 F(s)的 P個極點(diǎn)，則平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn) P圈。若 Ls包圍了 F(s)的 Z個零點(diǎn)和 P個極點(diǎn)，則 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將