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機械工程控制基礎5-穩(wěn)定性(留存版)

2025-03-14 01:55上一頁面

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【正文】 圍線(封閉曲線), 如圖 (a)S平面中的 ABCDEFGH所示,要觀察該圍線在 F(S)平面上的映射,先求 A、 C、 E、 G四個點,有如下結果 分析一下 F(s) ssssF221)( ????零點: 2 極點: 0 第一次 s平面上的曲線包圍了 F(s)的 極點,未包含零點 F(s)包圍原點,旋轉方向: 逆時針方向 s平面選擇方向: 順時針 F(s)包含坐標原點,方向:逆時針! ?記住: 如果讓 s平面上的圍線同時包圍 F(s)的極點和零點 F(s)曲線會? 不包含坐標原點 sssF 2)( ??如果再把 S平面圍線的 CDE段移到的 1點,這時 包圍了零點 , 但不包圍其極點 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據 下面我們通過 幅角原理 導出 Nyquist穩(wěn)定判據 為研究 F(s)有無零點位于 [s]平面的右半平面 ,可選擇一條包圍整個 [s]右半平面 的 封閉曲線 Ls,如圖。因此,如果 G(s)H(s)的 Nyquist軌跡逆時針包圍(- 1, j0)點的圈數 N 等于 G(s)H(s)在 [s]平面的右半平面的極點數 P 時,有 N =- P,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 是其閉環(huán)特征方程的全部根具有負實部,即在 [s]右半平面內沒有極點,也就是說, F(s)在 [s]平面的右半平面沒有零點 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據 )1()1()()(122???sTssTKsHsG五 . 具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 )(sXi )(1 sGse??)(sE )(sXo則 幅頻特性為: 相頻特性為: )()( 1 ?? jGjG K ? ???? ???? )()( 1 jGjG K ???? jK ejGj ?? )()( 1故 具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)傳遞函數結構圖為: 延時環(huán)節(jié)不改變原頻率特性幅值的大小,但改變其相角的大小。 實例分析 2 設系統(tǒng)的 GK(s)為 )5)(1()()( ??? sssKsHsG試分別求取 K= 10及 K= 100時的相位裕度和幅值裕度。 四 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Bode穩(wěn)定判據 實例分析 1 設系統(tǒng)的 GK(s)為: )2()()( 222nnnssssHsG ???????試分析阻尼比 ξ很小時,該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據 )()()()( ???? jHjGjHjG ???)()()()( ???? jHjGjHjG ????∠ ∠ 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 : )1)(1)(1()1()()(3214?????sTsTsTssTKsHsG實例分析 8 –導前環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的重要作用 右圖為開環(huán)奈氏曲線。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據 向量 F(s)的相位為 ???????????njjmii pszssF11)()()( mnpspsps zszszsKsFnm ????????)())(()())(()(2121???j ][s?iz izs?1pz 2p3sLIm )]([ sFReFLF(s) 若 [s]平面上的封閉曲線包圍 F(s)的 Z個零點,則在 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將繞原點順時針 Z圈,而若 [s]平面內的封閉曲線包圍這 F(s)的 P個極點,則平面上的映射曲線 LF將繞原點逆時針轉 P圈。 ? ? ? ? ? ? ? ? mn m n s H s G s 當 const 當 0 ) ( ) ( lim 因為, Ls為 [s]平面上的整個虛軸再加上半徑為無窮大的半圓弧,而 [s]平面上半徑為無窮大的半圓弧映射到 [GH]平面上只是一個點,它對于 G(s)H(s) 的映射曲線 LGH對某點的包圍情況無影響,所以 G(s)H(s)的繞行情況只考慮 [s]平面的虛軸映射到 [GH]平面上的開環(huán) Nyquist軌跡 G(jω )H(jω )即可。 2. Nyquist 穩(wěn)定判據 :利用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 設閉環(huán)傳遞函數方框圖對應的開環(huán)傳遞函數為: )())...()(( )(...))(()()()(2121 mnpspspszszszsKsHsGsGnmK ????????? X i (s) G ( s ) H ( s ) X o (s) 其閉環(huán)傳遞函數為: )(H)(G1)()(sssGsGB ??特征方程 0)(H)(G1 ?? ss )(H)(G1)( sssF ??令 則有: ? ?nnpspspssssssspspspszszszspspspssFnnnmn????????????????????))...()(())...()(())...()(())...()((K))...()(()(2139。 一、 Nyquist穩(wěn)定判據 判據提出: 該穩(wěn)定性判據由 1932年提出,在1940年以后得到廣泛應用。 解:列 Routh表如下: 4s32s10s14242?0?? 24 ?4 24 4842? ??? ? ??5 ??004改變符號一次 改變符號一次 由 Routh判據:系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 控制工程中希望大范圍漸近穩(wěn)定,基于精度要求,也需要確定最大范圍。 4. “大范圍 ” 漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定,則系統(tǒng)稱為 “ 大范圍漸近穩(wěn)定 ” ,反之,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這樣, Routh表就可以計算下去。 ?Routh穩(wěn)定判據是 Routh表的第一列元素均大于 0。即向量 F(s)的相位角變化為 - 2π ,或者說 F(s) 在 [F(s)]平面上沿 LF 繞原點順時針轉了一圈。[F]平面上的坐標原點,就是 [GH]平面上的(- 1, j0)點, F(s)的映射曲線 LF包圍原點的圈數就等于 G(s)H(s)的映射曲線 LGH包圍(- 1,j0)點的圈數。 這就是所謂的 開環(huán)不穩(wěn)定而閉環(huán)穩(wěn)定 。 2. Nyquist判據 證明復雜,但應用簡單 ;由于一般系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng), P=0,因此,只要看開環(huán) Nyquist軌跡是否包圍 (1,j0)點,若不包圍,系統(tǒng)就穩(wěn)定。 Bode判據的優(yōu)點 : ?Bode圖可以用作 漸近線 的方法作出,故比較簡便 ; ?Bode圖上的 漸近線 ,可以粗略的判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性; ?Bode圖上可以 明確 哪些環(huán)節(jié)是 造成不穩(wěn)定的主要因素 ,從而 對其中參數進行合理選擇或校正 ; ?在調整開環(huán)增益 K時,只需將 Bode圖中的對數幅頻特性上下平移即可,很容易看出保證穩(wěn)定性所需的增益值。 由 ,有 g?? 00 ??????? ??GH系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Bode穩(wěn)定判據 ?掌握 Routh判據的必要條件和充要條件,并能夠判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性; 本章小結 ?掌握 Nyquist判據,并能夠判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性; ?掌握 Bode判據,并能夠判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性; ?掌握各個判據的適用條件。 此例, τ ,系統(tǒng)穩(wěn)定; τ = ,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定; τ ,系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ???jvvrresvniivmjjresserKsTssTKsHsGsHsGjrjr??????????????? ??0lim11lim0lim)1()1()()()()(00lim系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據 實例分析 3 已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為: )12)(1()14()()(2 ????sssssHsG當 ω =0 時, ? ? ? ? ?180??? ?? jHjG當 ω =∞ 時, ? ? ? ? ?270???? jHjG故奈氏曲線將穿越負實軸,在交點處,有 ? ? ? ? ?180??? ?? jHjGImRe )0,1( j?0 ??0? ][GH? ???? ??由此可算得: 1221 ?? ??? GH 當 ω 由 ∞ 變到 +∞ 時,經過 ω=0 時,由于 G(s)H(s)分母中有兩個積分環(huán)節(jié),所以,影射到
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