【正文】 圍線（封閉曲線）， 如圖 (a)Ｓ平面中的 ABCDEFGH所示，要觀察該圍線在 F(S)平面上的映射，先求 A、 C、 E、 G四個(gè)點(diǎn)，有如下結(jié)果 分析一下 F(s) ssssF221)( ????零點(diǎn)： 2 極點(diǎn)： 0 第一次 s平面上的曲線包圍了 F(s)的 極點(diǎn)，未包含零點(diǎn) F(s)包圍原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)方向： 逆時(shí)針?lè)较? s平面選擇方向： 順時(shí)針 F(s)包含坐標(biāo)原點(diǎn)，方向：逆時(shí)針！ ?記?。? 如果讓 s平面上的圍線同時(shí)包圍 F(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn) F(s)曲線會(huì)？ 不包含坐標(biāo)原點(diǎn) sssF 2)( ??如果再把 S平面圍線的 CDE段移到的 1點(diǎn)，這時(shí) 包圍了零點(diǎn) ， 但不包圍其極點(diǎn) 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 下面我們通過(guò) 幅角原理 導(dǎo)出 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 為研究 F(s)有無(wú)零點(diǎn)位于 [s]平面的右半平面 ，可選擇一條包圍整個(gè) [s]右半平面 的 封閉曲線 Ls，如圖。因此，如果 G(s)H(s)的 Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍（－ 1， j0）點(diǎn)的圈數(shù) N 等于 G(s)H(s)在 [s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù) P 時(shí)，有 N ＝－ P，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 是其閉環(huán)特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部，即在 [s]右半平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，也就是說(shuō)， F(s)在 [s]平面的右半平面沒(méi)有零點(diǎn) 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) )1()1()()(122???sTssTKsHsG五 . 具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 )(sXi )(1 sGse??)(sE )(sXo則 幅頻特性為： 相頻特性為： )()( 1 ?? jGjG K ? ???? ???? )()( 1 jGjG K ???? jK ejGj ?? )()( 1故 具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為： 延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)l率特性幅值的大小，但改變其相角的大小。 實(shí)例分析 2 設(shè)系統(tǒng)的 GK(s)為 )5)(1()()( ??? sssKsHsG試分別求取 K＝ 10及 K＝ 100時(shí)的相位裕度和幅值裕度。 四 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Bode穩(wěn)定判據(jù) 實(shí)例分析 1 設(shè)系統(tǒng)的 GK(s)為： )2()()( 222nnnssssHsG ???????試分析阻尼比 ξ很小時(shí)，該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) )()()()( ???? jHjGjHjG ???)()()()( ???? jHjGjHjG ????∠ ∠ 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 : )1)(1)(1()1()()(3214?????sTsTsTssTKsHsG實(shí)例分析 8 –導(dǎo)前環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的重要作用 右圖為開(kāi)環(huán)奈氏曲線。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 向量 F(s)的相位為 ???????????njjmii pszssF11)()()( mnpspsps zszszsKsFnm ????????)())(()())(()(2121???j ][s?iz izs?1pz 2p3sLIm )]([ sFReFLF(s) 若 [s]平面上的封閉曲線包圍 F(s)的 Z個(gè)零點(diǎn)，則在 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針 Z圈，而若 [s]平面內(nèi)的封閉曲線包圍這 F(s)的 P個(gè)極點(diǎn)，則平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn) P圈。 ? ? ? ? ? ? ? ? mn m n s H s G s 當(dāng) const 當(dāng) 0 ) ( ) ( lim 因?yàn)椋?Ls為 [s]平面上的整個(gè)虛軸再加上半徑為無(wú)窮大的半圓弧，而 [s]平面上半徑為無(wú)窮大的半圓弧映射到 [GH]平面上只是一個(gè)點(diǎn)，它對(duì)于 G(s)H(s) 的映射曲線 LGH對(duì)某點(diǎn)的包圍情況無(wú)影響，所以 G(s)H(s)的繞行情況只考慮 [s]平面的虛軸映射到 [GH]平面上的開(kāi)環(huán) Nyquist軌跡 G(jω )H(jω )即可。 2. Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) :利用開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)方框圖對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： )())...()(( )(...))(()()()(2121 mnpspspszszszsKsHsGsGnmK ????????? X i (s) G ( s ) H ( s ) X o (s) 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )(H)(G1)()(sssGsGB ??特征方程 0)(H)(G1 ?? ss )(H)(G1)( sssF ??令 則有： ? ?nnpspspssssssspspspszszszspspspssFnnnmn????????????????????))...()(())...()(())...()(())...()((K))...()(()(2139。 一、 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 判據(jù)提出： 該穩(wěn)定性判據(jù)由 1932年提出，在1940年以后得到廣泛應(yīng)用。 解：列 Routh表如下： 4s32s10s14242?0?? 24 ?4 24 4842? ??? ? ??5 ??004改變符號(hào)一次 改變符號(hào)一次 由 Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 控制工程中希望大范圍漸近穩(wěn)定，基于精度要求，也需要確定最大范圍。 4. “大范圍 ” 漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為 “ 大范圍漸近穩(wěn)定 ” ，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這樣， Routh表就可以計(jì)算下去。 ?Routh穩(wěn)定判據(jù)是 Routh表的第一列元素均大于 0。即向量 F(s)的相位角變化為 － 2π ，或者說(shuō) F(s) 在 [F(s)]平面上沿 LF 繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈。[F]平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是 [GH]平面上的（－ 1， j0）點(diǎn)， F(s)的映射曲線 LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于 G(s)H(s)的映射曲線 LGH包圍（－ 1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。 這就是所謂的 開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定而閉環(huán)穩(wěn)定 。 2. Nyquist判據(jù) 證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡(jiǎn)單 ；由于一般系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)， P=0，因此，只要看開(kāi)環(huán) Nyquist軌跡是否包圍 (1,j0)點(diǎn)，若不包圍，系統(tǒng)就穩(wěn)定。 Bode判據(jù)的優(yōu)點(diǎn) ： ?Bode圖可以用作 漸近線 的方法作出，故比較簡(jiǎn)便 ； ?Bode圖上的 漸近線 ，可以粗略的判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性； ?Bode圖上可以 明確 哪些環(huán)節(jié)是 造成不穩(wěn)定的主要因素 ，從而 對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行合理選擇或校正 ； ?在調(diào)整開(kāi)環(huán)增益 K時(shí)，只需將 Bode圖中的對(duì)數(shù)幅頻特性上下平移即可，很容易看出保證穩(wěn)定性所需的增益值。 由 ，有 g?? 00 ??????? ??GH系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Bode穩(wěn)定判據(jù) ?掌握 Routh判據(jù)的必要條件和充要條件，并能夠判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 本章小結(jié) ?掌握 Nyquist判據(jù)，并能夠判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性； ?掌握 Bode判據(jù)，并能夠判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性； ?掌握各個(gè)判據(jù)的適用條件。 此例， τ ，系統(tǒng)穩(wěn)定； τ = ，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； τ ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ???jvvrresvniivmjjresserKsTssTKsHsGsHsGjrjr??????????????? ??0lim11lim0lim)1()1()()()()(00lim系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 實(shí)例分析 3 已知某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： )12)(1()14()()(2 ????sssssHsG當(dāng) ω =0 時(shí)， ? ? ? ? ?180??? ?? jHjG當(dāng) ω =∞ 時(shí)， ? ? ? ? ?270???? jHjG故奈氏曲線將穿越負(fù)實(shí)軸，在交點(diǎn)處，有 ? ? ? ? ?180??? ?? jHjGImRe )0,1( j?0 ??0? ][GH? ???? ??由此可算得： 1221 ?? ??? GH 當(dāng) ω 由 ∞ 變到 +∞ 時(shí)，經(jīng)過(guò) ω=0 時(shí)，由于 G(s)H(s)分母中有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以，影射到