【正文】 sssssss122,111)1(????? ??nnnnnnaasaasaas 0111 ? 從根與系數(shù)的關(guān)系可以看出， 僅僅有各項(xiàng)系數(shù)大于 0，還不能判定特征根均具有負(fù)實(shí)部 ，也許特征根中有正有負(fù)，它們組合起來仍能滿足“根與系數(shù)的關(guān)系”中的各式。漸近穩(wěn)定性滿足李氏穩(wěn)定性定義；對非線性定義，這兩種穩(wěn)定性是不同的。反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 機(jī)械工程控制基礎(chǔ) 主講人：張燕 機(jī)械類專業(yè)必修課 機(jī)械與動力工程學(xué)院 教學(xué)內(nèi)容 課程準(zhǔn)備 系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正 緒 論 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的頻率特性分析 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 教學(xué)內(nèi)容 第一講 穩(wěn)定性概念 Routh判據(jù) 4 a, b 稱為系統(tǒng)的平衡點(diǎn) 小球在 a處穩(wěn)定， 在 b處不穩(wěn)定 a b a b 擺在 a處穩(wěn)定， 在 b處不穩(wěn)定。 針對穩(wěn)定對象的反饋控制 1)系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象 例：液壓位置隨動系統(tǒng) 原理： 外力 → 閥芯初始位移 Xi(0)→ 閥口 4打開 → 活塞右移 → 閥口關(guān)閉（回復(fù)平衡位置） → （慣性）活塞繼續(xù)右移 → 閥口 3開啟 → 活塞左移 → 平衡位置→ （慣性）活塞繼續(xù)左移 → 閥口 4開啟 …… ① 隨動：活塞跟隨閥芯運(yùn)動 ② 慣性：引起振蕩 ③ 振蕩結(jié)果： ① 減幅振蕩 （收斂，穩(wěn)定） ② 等幅振蕩 （臨界穩(wěn)定） ③ 增幅振蕩 （發(fā)散，不穩(wěn)定） 一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 三、關(guān)于穩(wěn)定性的相關(guān)提法 1. 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性 )(??o? 若 o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，擾動使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)的起始偏差（即初態(tài)）不超過域 η，由擾動引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng)）及其終態(tài)不超過預(yù)先給定的整數(shù) ε，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2. 漸近穩(wěn)定性 就是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要求由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減為零。 按習(xí)慣，一般取最高階次項(xiàng)的系數(shù)為正，上述兩個(gè)條件可以歸結(jié)為 系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)全大于 0，此即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 4s32s1s0 19?3011030?3012030 301111)19(1 ?????? 123030111)30( ??????改變符號一次 改變符號一次 解： 由 Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。此時(shí)，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。 出現(xiàn)這種情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個(gè)符號相反的實(shí)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對共軛的純虛根（即系統(tǒng)自由響應(yīng)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），或是以上幾種根的組合。 解：列 Routh表如下： 8964s32s10s12425?48500002450? 5 0050?Routh表中出現(xiàn) 0元行，構(gòu)造輔助多項(xiàng)式如下： 050482)( 24 ???? sssF取 F(s)對 s的導(dǎo)數(shù)得新方程： 0968)( 3 ???? sssF用上式中的系數(shù) 8和 96代替 0元行，繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算。 本例中輔助多項(xiàng)式為： 050482)( 24 ???? sssF解此輔助多項(xiàng)式可得： 5。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如下圖所示，已知 T1＝ ，T2＝ ，試求 : 實(shí)例分析 4 )(sXi )(sXo)1)(1( 21 sTsTK??解： （ 1）求 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K值的取值范圍 （ 1） 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K值的取值范圍； （ 2） 若要求系統(tǒng)的特征根均 位于 s＝－ 1線的左側(cè)， K值的取值范圍。利用 Routh穩(wěn)定判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且可以確定某些參數(shù)的取值范圍和相對穩(wěn)定性。 判斷方法： 通過 GK(jω) 的 Nyquist圖，利用圖解法來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ?S平面的曲線如果只包含 F(s)的 零點(diǎn) ： F(s)曲線 將包含原點(diǎn) ，且曲線旋轉(zhuǎn)方向?yàn)?順時(shí)針。若在 [s]平面上任意一封閉曲線 Ls，只要此曲線不經(jīng)過 F(s)的奇點(diǎn)， 則在 [F(s)]平面上必有一條對應(yīng)的曲線 LF，也是一條封閉曲線。 ???????????njjmii pszssF11)()()(系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 若 [s]平面上的封閉曲線包圍 F(s)的 Z個(gè)零點(diǎn)，則在 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針 Z圈，而若 [s]平面內(nèi)的封閉曲線包圍這 F(s)的 P個(gè)極點(diǎn)，則平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn) P圈。21由此可知， s1,s2,…,s n`是 F(s)的零點(diǎn)，即為 GB(s)的極點(diǎn) ，亦即系統(tǒng)特征方程的根； F(s)的極點(diǎn) p1,p2,…,p n即 GK(s)的極點(diǎn) 。因此， Ls封閉地包圍了整個(gè) [s]平面的右半平面。由于繞過這些點(diǎn)的圓弧的半徑為無窮小，因此，可以認(rèn)為 Ls曲線仍然包圍了整個(gè) [s]平面的右半平面。 ImRe )0,1( j?0 )(sF][1FL ImRe )0,1( j? )()( sHsG ][GH1GHL0系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 設(shè) F(s)＝ 1＋ (s) (s)在 [s]右平面有 Z個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn) ，由幅角原理， 當(dāng) s沿 [s]平面上的 Nyquist軌跡移動一周時(shí)，在 [F]平面上的映射曲線 LF將順時(shí)針包圍（ 1， j0） N＝ Z－ P圈 。若 Ls包圍了 F(s)的 Z個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn)，則 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將 繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn) N=ZP圈 。 P 為 G(s)H(s)在 [s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 (a)圖不包圍 (1， j 0)點(diǎn)，它所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； (b)圖對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定是指開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半平面有極點(diǎn)。 總結(jié) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： F(s)在 [s]平面的右半平面無零點(diǎn)，即 Z＝ 0。 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù) ????????? vniivmjjKsTssTKsHsGsG11)1()1()()()(式中， ν為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，當(dāng) s 沿?zé)o窮小半圓弧逆時(shí)針方向移動時(shí)，有 ?jr res 0lim???j???j??j01L2L][s?0?映射到 [GH]平面上的 Nyquist軌跡為： ???jvvrresvniivmjjresserKsTssTKsHsGsHsGjrjr??????????????? ??0lim11lim0lim)1()1()()()()(00lim映射到 [GH]平面上的 Nyquist軌跡為： 因此，當(dāng) s沿小半圓從 ω ＝ 0－ 變化到 ω ＝ 0＋ 時(shí)， θ 角從－ π /2變化到 π /2，這時(shí) [GH]平面上的 Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑按 順時(shí)針方向 從 vπ /2轉(zhuǎn)到 vπ /2 。 實(shí)例分析 4 當(dāng) ω 由 ∞變到 +∞ 時(shí)，開環(huán)奈氏軌跡逆時(shí)針包圍 (1， j 0)點(diǎn)一圈，所以， 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng) P≠0時(shí)，先求出 P，再看開環(huán) Nyquist軌跡包圍點(diǎn) (1,j0)的圈數(shù)，并注意 ω 由小到大的軌跡的方向，若是 逆時(shí)針包圍點(diǎn) (1,j0)P圈 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 ImRe )0,1( j?0 ][GH????0??)1()2(曲線 (2) 的 T4 較大，即導(dǎo)前作用較強(qiáng)，曲線不包圍 (1， j 0)點(diǎn)，所對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。即使原系統(tǒng)穩(wěn)定，但串入延時(shí)環(huán)節(jié)后系統(tǒng)可能會不穩(wěn)定。其中 P為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在 [s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 例： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 2221422212 21 )(1)()(TTTTTTKP??? ??????])(1[)1()(2221422212212 TTTT TTKQ ??? ?? ??? ??? 1)1)(1()()(212121????? TT TKTsTsTs KsHsG方法 1： 右半平面極點(diǎn)數(shù)： P=0,乃奎斯特曲線順時(shí)針包圍 (1， j0)點(diǎn)兩圈，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，必須使相位裕度和幅值裕度同時(shí)達(dá)到一定值，才能保證系統(tǒng)有足夠的穩(wěn)定性。 （ 2） K＝ 100 重復(fù)上述步驟，可解得： )dB( ??gK ??? ?可見，系統(tǒng)不穩(wěn)