【正文】 平面的右半平面有一個極點。 對于 開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng) ，有 P＝ 0，此時 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 G(jω )H(jω )不包圍（－ 1， j 0）點 。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： F(s)在 [s]平面的右半平面無零點，即 Z＝ 0。 對于任何物理上可實現(xiàn)的開環(huán)系統(tǒng)，其 GK(s)的分母的階次 n 必不小于分子的階次 m ，即 n ≥ m ，故有： 這里 s→∞ 是指 其模 而言，所以， [s]平面上半徑為 ∞ 的半圓映射到 [GH]平面上為原點或?qū)嵼S上的一點。 ?j???j??j01L2][s ?j???j??j01L2L][s??系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 設(shè) F(s)＝ 1＋ G(s)H(s)在 [s]右平面有 Z個零點和 P個極點 ，由幅角原理， 當 s沿 [s]平面上的 Nyquist軌跡移動一周時，在 [F]平面上的映射曲線 LF將順時針包圍原點 N＝ Z－ P圈 。這一封閉曲線 Ls即為 [s]平面上的 Nyquist 軌跡。 上述各函數(shù)零點與極點之間的對應(yīng)關(guān)系如下： )(sGBF )(sGK零點 極點 零點 極點 零點 極點 相同 相同 )())...()(( )(...))(()()()(2121 mnpspsps zszszsKsHsGsGnmK ???? ????? )(sGBF )(sGK零點 極點 零點 極點 零點 極點 相同 相同 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 是其閉環(huán)特征方程的全部根具有負實部，即在 [s]右半平面內(nèi)沒有極點，也就是說， F(s)在 [s]平面的右半平面沒有零點 。若 Ls包圍了 F(s)的 Z個零點和 P個極點，則 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將 繞原點順時針轉(zhuǎn) N=ZP圈 。 當解析點 s按順時針方向沿 Ls變化一周時 ，向量 F(s)將按順時針方向 旋轉(zhuǎn) N 周 ，即 F(s)以原點為中心順時針旋轉(zhuǎn) N 周，這就等于曲線 LF順時針包圍原點 N 次 。 ?S平面的曲線如果既包含 F(s)的零點，又包含極點？ → 剛才我們看見的 F(s)不包含零點，即包圍零點圈數(shù) =0。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)是復變函數(shù)中的幅角原理。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 第二講 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) K=8 4 2 0 2 4 2 . 52 1 . 51 0 . 500 . 5N y q u is t D ia g r a mR e a l A x isImaginary Axis0 5 10 15 20 25 30 1 05051015S t e p R e s p o n s eT im e ( s e c )AmplitudeK=6 3 2 1 0 1 2 33 2 . 52 1 . 51 0 . 500 . 5N y q u is t D ia g r a mR e a l A x isImaginary Axis0 5 10 15 20 25 30 3500 . 511 . 52S t e p R e s p o n s eT im e ( s e c )Amplitude() ( 1 ) ( 2)KGs s s s? ??乃奎斯特圖及時間響應(yīng) K=4 K=1 2 1 0 1 2432101N y q u is t D ia g r a mR e a l A x isImaginary Axis0 10 20 30 40 50 6000 . 511 . 52S t e p R e s p o n s eT im e ( s e c )Amplitude2 1 0 1 2432101N y q u is t D ia g r a mR e a l A x isImaginary Axis0 5 10 1500 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4S t e p R e s p o n s eT im e ( s e c )AmplitudeK= 2 1 0 1 2432101N y q u is t D ia g r a mR e a l A x isImaginary Axis0 5 10 1500 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 4S t e p R e s p o n s eT im e ( s e c )Amplitude 由以上可以看出：極坐標圖離（ 1， j0）點的遠近程度是系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性的一種度量，這種度量常用相角裕量 (度 )和幅值裕量 (度 )來描述。 KssTTsTTKsHsGsGsGB ??????? 221321 )()()(1)()(系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 0)()( 221321 ?????? KssTTsTTsD 0404014 23 ???? Ksss因為： 將 T1和 T2代入得： 列 Routh表如下： ??? ? ??? 040 0404014 K K140 ?? K3s2s1s0s 4014K40 14404014 K??0K40解之得系統(tǒng)穩(wěn)定時 K的取值范圍為： 由 Routh表和 Routh判據(jù)得： 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) （ 2）令 s＝ z－ 1，代入特征方程得： 040)1(40)1(14)1( 23 ??????? Kzszz 027401511 23 ????? Kzzz即： 列 Routh表如下： ??? ????02740040192KK ?? K3s2s1s0s 1511 2740 ?K 1127401511 ??? K0 2740 ?K解之得： 由 Routh表和 Routh判據(jù)得： 與 (1)的結(jié)果比較可知， K的取值范圍變小了。1 jss ????這兩對復根是原特征方程的根的一部分。 改變符號一次 此表第一列各元符號改變次數(shù)為 1， 該系統(tǒng)包括一個具有正實部的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 實例分析 2 系統(tǒng)特征方程： 04244)( 2345 ??????? ssssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。 （ 2）如果 Routh表中任意一行的所有元素都為 0， Routh表的計算無法繼續(xù)。 ? 低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù) ? 二階系統(tǒng) 0)( 2120 ???? asasasD勞斯陣列為： s2 a0 a2 s1 a1 0 s0 a2 a00， a10， a20 從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： ? 三階系統(tǒng) 0)( 322130 ????? asasasasD勞斯陣列為： s3 a0 a2 s2 a1 a3 s1 0 s0 a3 13021 )( aaaaa ?從而，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 特征方程的各項系數(shù)大于零，且： a1a2a0a30 3. Routh判據(jù)的特殊情況 （ 1）如果在 Routh表中任意一行的第一個元素為 0，而其后各元不全為 0，則在計算下一行的元素時，將趨向于無窮大。 ??????????????????????????????????niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2,132,1211)1(...??????????????????????????????? niinnnjijijinniin