【正文】 一、 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 判據(jù)提出： 該穩(wěn)定性判據(jù)由 1932年提出，在1940年以后得到廣泛應(yīng)用。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) ?系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，當(dāng)干擾撤除后，系統(tǒng)自動(dòng)回到平衡位置的能力 ； 六、本講小結(jié) ?系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征根具有負(fù)實(shí)部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均分布在 [s]平面的左半平面 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 五、相對(duì)穩(wěn)定性的檢驗(yàn) 應(yīng)用 Routh判據(jù)可檢驗(yàn) 穩(wěn)定系統(tǒng) 的 相對(duì)穩(wěn)定性方法如下 ： ?將 s平面的虛軸向左移動(dòng)某個(gè)數(shù)值，即令 s＝ z－ σ（ σ為正實(shí)數(shù) ） ，代入系統(tǒng)特征方程，則得到關(guān)于 z的特征方程； ?利用 Routh表和 Routh判據(jù)對(duì)新的特征方程進(jìn)行穩(wěn)定性判別。 根據(jù) Routh判據(jù)， 2p的輔助多項(xiàng)式應(yīng)該存在 p對(duì)實(shí)部符號(hào)相異、虛部數(shù)值相同的共軛復(fù)根。 解：列 Routh表如下： 4s32s10s14242?0?? 24 ?4 24 4842? ??? ? ??5 ??004改變符號(hào)一次 改變符號(hào)一次 由 Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。此時(shí)，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成 Routh表的下一行。于是 Routh表計(jì)算無(wú)法繼續(xù)，為了克服這一困難， 用一個(gè)很小的正數(shù) ε 代替第一列的 0，然后計(jì)算 Routh表的其余各元。也就是說上式為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，而不是充要條件。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 控制工程中希望大范圍漸近穩(wěn)定，基于精度要求，也需要確定最大范圍。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 3. “小偏差 ” 穩(wěn)定性 系統(tǒng)初始偏差（初態(tài)）不超過某一微小范圍時(shí)的穩(wěn)定性，稱之為 “ 小偏差穩(wěn)定性 ” 或 “ 局部穩(wěn)定性 ” 。 穩(wěn)定性的基本概念 c) 穩(wěn)定 d) 臨界穩(wěn)定 e) 不穩(wěn)定 A b、不穩(wěn)定的擺 A A? A″ a、穩(wěn)定的擺 6 ② ：閉環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng) 可以穩(wěn)定。 +V Light source R Controller F mg I u F mg I ① ：開環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng) 不穩(wěn)定 ① ② 7 針對(duì)不穩(wěn)定對(duì)象的反饋控制 大部分受控對(duì)象是穩(wěn)定的，但反饋控制所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定。 4. “大范圍 ” 漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為 “ 大范圍漸近穩(wěn)定 ” ，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 四、 Routh穩(wěn)定判據(jù) 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 設(shè)系統(tǒng)的特征方程為： 0)( 0111 ?????? ?? asasasasD nnnn ?兩邊同除 an )())(( 210111 nnnnnnn ssssssaasaasaas ??????? ?? ?? ???????????????????????????????? niinnnjijijinniin sssssss122,111)1(?系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 依據(jù)上式， s的同次冪前系數(shù)應(yīng)對(duì)等 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個(gè)條件： ?特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于 0； ?特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。 實(shí)例分析 1 系統(tǒng)特征方程 0301119)( 234 ?????? sssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。若 ε 上下各元符號(hào)不變，且第一列元素符號(hào)均為正，則系統(tǒng)特征根中有共軛的虛根。這樣， Routh表就可以計(jì)算下去。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 實(shí)例分析 3 系統(tǒng)特征方程： 0502548242)( 2345 ??????? ssssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。這些特征根可以通過解輔助多項(xiàng)式得到。如果新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)特征方程的根均在新的虛軸之左邊， σ越大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越好。 ?Routh穩(wěn)定判據(jù)是 Routh表的第一列元素均大于 0。 判據(jù)原理： 將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 1+G(s)H(s)=0 與開環(huán)頻率特性 GK(jω)=G(s)H(s) 聯(lián)系起來(lái)，從而將系統(tǒng)特性從復(fù)域引入頻域來(lái)分析。此時(shí)， F(s)平面上的圍線包圍了原點(diǎn)，而方向都是順時(shí)針的！如下圖 包含坐標(biāo)原點(diǎn)，方向：順時(shí)針！ sssF 2)( ???注意 : ?S平面的曲線如果只包含 F(s)的 極點(diǎn) ： F(s)曲線將包含原點(diǎn) ，且曲線旋轉(zhuǎn)方向?yàn)?逆時(shí)針。 ?j?S 平面 ImReF 平面單域問題 N＝ 1 ?j?S 平面 ImReF 平面N=1 ImReF 平面??j?S 平面N = m n = 3 – 1= 2 零點(diǎn) 極點(diǎn) ?? js ??Z=3 P=1 N=2 Z=0 P=1 N=1 （ Cauchy定理） )())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF?????????jvusF ??)( 設(shè) F(s)在 [s]平面上 除有限個(gè)奇點(diǎn)外 為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設(shè) [s]平面上解析點(diǎn) s映射到 [F(s)]平面上為點(diǎn) F(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量 F(s)。即向量 F(s)的相位角變化為 － 2π ，或者說 F(s) 在 [F(s)]平面上沿 LF 繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈。21212121系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) )()(G)(1)()()(1)()(sFssGsGsHsGsGsGKB ????? 0)(1)()(1)( ????? sGsHsGsFK因?yàn)?: 特征方程為： ? ?nnpspsps sssssssFnn ?????????))...()(())...()(()(2139。 Ls由兩部分組成，其中， L1為 ω→ － ∞ 到 +∞ 的整個(gè)虛軸， L2為半徑 R趨于無(wú)窮大的半圓弧。 由于在 應(yīng)用幅角原理 時(shí)， Ls不能通過 F(s)函數(shù)的任何極點(diǎn) ，所以當(dāng)函數(shù) F(s)有若干極點(diǎn)處于 [s]平面的虛軸或原點(diǎn)處時(shí)，Ls應(yīng)以這些點(diǎn)為圓心，以無(wú)窮小為半徑的圓弧按逆時(shí)針方向繞過這些點(diǎn)。[F]平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是 [GH]平面上的（－ 1， j0）點(diǎn)， F(s)的映射曲線 LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于 G(s)H(s)的映射曲線 LGH包圍（－ 1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 向量 F(s)的相位為 ???????????njjmii pszssF11)()()( mnpspsps zszszsKsFnm ????????)())(()())(()(2121???j ][s?iz izs?1pz 2p3sLIm )]([ sFReFLF(s) 若 [s]平面上的封閉曲線包圍 F(s)的 Z個(gè)零點(diǎn)，則在 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)順時(shí)針 Z圈，而若 [s]平面內(nèi)的封閉曲線包圍這 F(s)的 P個(gè)極點(diǎn)，則平面上的映射曲線 LF將繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn) P圈。 綜上所述， Nyquist穩(wěn)定判據(jù)表述如下： 當(dāng) ω→ － ∞ 到 +∞ 時(shí)，若 [GH]平面上的開環(huán)頻率特性 G(jω )H(jω )逆時(shí)針 包圍（－ 1，j 0）點(diǎn) P 圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 )(sGBF )(sGK零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 相同 相同 如圖是 P=0的系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。 這就是所謂的 開環(huán)不穩(wěn)定而閉環(huán)穩(wěn)定 。若 Ls包圍了 F(s)的 Z個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn)，則 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將 繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn) N=ZP圈 。 )(sGBF )(sGK零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 零點(diǎn) 極點(diǎn) 相同 相同 3. 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的 Nyquist軌跡 軌跡特點(diǎn)： 當(dāng)系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時(shí)， 開環(huán)傳遞函數(shù)有位于 [s]平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn) 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1()3()()(???sssKsHsGImRe )0,1( j?0 ??0? ][GH??0? ???? ??分析 ： G(s)H(s)在 [s]平面的右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，為