【正文】 一、 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 判據(jù)提出： 該穩(wěn)定性判據(jù)由 1932年提出，在1940年以后得到廣泛應用。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) ?系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，當干擾撤除后，系統(tǒng)自動回到平衡位置的能力 ； 六、本講小結(jié) ?系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征根具有負實部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點均分布在 [s]平面的左半平面 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 五、相對穩(wěn)定性的檢驗 應用 Routh判據(jù)可檢驗 穩(wěn)定系統(tǒng) 的 相對穩(wěn)定性方法如下 ： ?將 s平面的虛軸向左移動某個數(shù)值，即令 s＝ z－ σ（ σ為正實數(shù) ） ，代入系統(tǒng)特征方程，則得到關(guān)于 z的特征方程； ?利用 Routh表和 Routh判據(jù)對新的特征方程進行穩(wěn)定性判別。 根據(jù) Routh判據(jù)， 2p的輔助多項式應該存在 p對實部符號相異、虛部數(shù)值相同的共軛復根。 解：列 Routh表如下： 4s32s10s14242?0?? 24 ?4 24 4842? ??? ? ??5 ??004改變符號一次 改變符號一次 由 Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。此時，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個輔助多項式，并用多項式的導數(shù)的系數(shù)組成 Routh表的下一行。于是 Routh表計算無法繼續(xù)，為了克服這一困難， 用一個很小的正數(shù) ε 代替第一列的 0，然后計算 Routh表的其余各元。也就是說上式為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，而不是充要條件。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 控制工程中希望大范圍漸近穩(wěn)定，基于精度要求，也需要確定最大范圍。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 3. “小偏差 ” 穩(wěn)定性 系統(tǒng)初始偏差（初態(tài)）不超過某一微小范圍時的穩(wěn)定性，稱之為 “ 小偏差穩(wěn)定性 ” 或 “ 局部穩(wěn)定性 ” 。 穩(wěn)定性的基本概念 c) 穩(wěn)定 d) 臨界穩(wěn)定 e) 不穩(wěn)定 A b、不穩(wěn)定的擺 A A? A″ a、穩(wěn)定的擺 6 ② ：閉環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng) 可以穩(wěn)定。 +V Light source R Controller F mg I u F mg I ① ：開環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng) 不穩(wěn)定 ① ② 7 針對不穩(wěn)定對象的反饋控制 大部分受控對象是穩(wěn)定的，但反饋控制所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定。 4. “大范圍 ” 漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為 “ 大范圍漸近穩(wěn)定 ” ，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 四、 Routh穩(wěn)定判據(jù) 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 設系統(tǒng)的特征方程為： 0)( 0111 ?????? ?? asasasasD nnnn ?兩邊同除 an )())(( 210111 nnnnnnn ssssssaasaasaas ??????? ?? ?? ???????????????????????????????? niinnnjijijinniin sssssss122,111)1(?系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 依據(jù)上式， s的同次冪前系數(shù)應對等 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負實部，就必須滿足以下兩個條件： ?特征方程的各項系數(shù)都不等于 0； ?特征方程的各項系數(shù)的符號相同。 實例分析 1 系統(tǒng)特征方程 0301119)( 234 ?????? sssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。若 ε 上下各元符號不變，且第一列元素符號均為正，則系統(tǒng)特征根中有共軛的虛根。這樣， Routh表就可以計算下去。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 實例分析 3 系統(tǒng)特征方程： 0502548242)( 2345 ??????? ssssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。這些特征根可以通過解輔助多項式得到。如果新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)特征方程的根均在新的虛軸之左邊， σ越大，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越好。 ?Routh穩(wěn)定判據(jù)是 Routh表的第一列元素均大于 0。 判據(jù)原理： 將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 1+G(s)H(s)=0 與開環(huán)頻率特性 GK(jω)=G(s)H(s) 聯(lián)系起來，從而將系統(tǒng)特性從復域引入頻域來分析。此時， F(s)平面上的圍線包圍了原點，而方向都是順時針的！如下圖 包含坐標原點，方向：順時針！ sssF 2)( ???注意 : ?S平面的曲線如果只包含 F(s)的 極點 ： F(s)曲線將包含原點 ，且曲線旋轉(zhuǎn)方向為 逆時針。 ?j?S 平面 ImReF 平面單域問題 N＝ 1 ?j?S 平面 ImReF 平面N=1 ImReF 平面??j?S 平面N = m n = 3 – 1= 2 零點 極點 ?? js ??Z=3 P=1 N=2 Z=0 P=1 N=1 （ Cauchy定理） )())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF?????????jvusF ??)( 設 F(s)在 [s]平面上 除有限個奇點外 為單值的連續(xù)正則函數(shù)，并設 [s]平面上解析點 s映射到 [F(s)]平面上為點 F(s)，或為從原點指向此映射點的向量 F(s)。即向量 F(s)的相位角變化為 － 2π ，或者說 F(s) 在 [F(s)]平面上沿 LF 繞原點順時針轉(zhuǎn)了一圈。21212121系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) )()(G)(1)()()(1)()(sFssGsGsHsGsGsGKB ????? 0)(1)()(1)( ????? sGsHsGsFK因為 : 特征方程為： ? ?nnpspsps sssssssFnn ?????????))...()(())...()(()(2139。 Ls由兩部分組成，其中， L1為 ω→ － ∞ 到 +∞ 的整個虛軸， L2為半徑 R趨于無窮大的半圓弧。 由于在 應用幅角原理 時， Ls不能通過 F(s)函數(shù)的任何極點 ，所以當函數(shù) F(s)有若干極點處于 [s]平面的虛軸或原點處時，Ls應以這些點為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向繞過這些點。[F]平面上的坐標原點，就是 [GH]平面上的（－ 1， j0）點， F(s)的映射曲線 LF包圍原點的圈數(shù)就等于 G(s)H(s)的映射曲線 LGH包圍（－ 1，j0）點的圈數(shù)。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 向量 F(s)的相位為 ???????????njjmii pszssF11)()()( mnpspsps zszszsKsFnm ????????)())(()())(()(2121???j ][s?iz izs?1pz 2p3sLIm )]([ sFReFLF(s) 若 [s]平面上的封閉曲線包圍 F(s)的 Z個零點，則在 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將繞原點順時針 Z圈，而若 [s]平面內(nèi)的封閉曲線包圍這 F(s)的 P個極點，則平面上的映射曲線 LF將繞原點逆時針轉(zhuǎn) P圈。 綜上所述， Nyquist穩(wěn)定判據(jù)表述如下： 當 ω→ － ∞ 到 +∞ 時，若 [GH]平面上的開環(huán)頻率特性 G(jω )H(jω )逆時針 包圍（－ 1，j 0）點 P 圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 )(sGBF )(sGK零點 極點 零點 極點 零點 極點 相同 相同 如圖是 P=0的系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。 這就是所謂的 開環(huán)不穩(wěn)定而閉環(huán)穩(wěn)定 。若 Ls包圍了 F(s)的 Z個零點和 P個極點，則 [F(s)]平面上的映射曲線 LF將 繞原點順時針轉(zhuǎn) N=ZP圈 。 )(sGBF )(sGK零點 極點 零點 極點 零點 極點 相同 相同 3. 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的 Nyquist軌跡 軌跡特點： 當系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時， 開環(huán)傳遞函數(shù)有位于 [s]平面坐標原點處的極點 。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1()3()()(???sssKsHsGImRe )0,1( j?0 ??0? ][GH??0? ???? ??分析 ： G(s)H(s)在 [s]平面的右半平面有一個極點，為