【正文】 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) 拉氏變換 拉氏逆變換 拉氏變換在控制工程中的應(yīng)用 s復(fù)數(shù)和 復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù) 1 復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則 3 2 復(fù)變函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn) s復(fù)數(shù) 1 虛數(shù)單位 2 虛數(shù) 3 復(fù)數(shù) s復(fù)數(shù) 5 共軛復(fù)數(shù) 4 一個(gè)復(fù)數(shù)為零 6 復(fù)數(shù)有多種表示形式 s復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則 兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（或相減 ） 1 兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘 2 兩個(gè)復(fù)數(shù)相除 3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則 用矢量表示復(fù)數(shù) 1 )( 111 ??? rs )( 222 ??? rs兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘 2 )())(( 2121221121 ???? ?????? rrrrss兩個(gè)復(fù)數(shù)相除 3 )( 2121221121 ???? ?????? rrrrsss復(fù)變函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 拉氏變換的定義 實(shí)部 j虛部 vusG j??)(+ 復(fù)變函數(shù) = 1 復(fù)變函數(shù) ))(( ))(()( 21 21 pspss zszsKsG ?? ???2 復(fù)變函數(shù)的零、極點(diǎn)表示 3 復(fù)變函數(shù)的零點(diǎn) 4 復(fù)變函數(shù)的極點(diǎn) s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 復(fù)變函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 第一節(jié) 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) 拉氏變換的定義 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的定義 第二節(jié)拉氏變換 1 拉氏變換的定義 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的定義 第二節(jié)拉氏變換 1 拉氏變換的定義 f(t) 分段函數(shù) s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的定義 第二節(jié)拉氏變換 2 拉氏變換的定義域 拉氏變換定義域 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的定義 第二節(jié)拉氏變換 3 象函數(shù) 4 原函數(shù) 1 階躍函數(shù) 第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié)拉氏變換 拉氏變換的定義 單位階 躍函數(shù) 第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換 第二節(jié)拉氏變換 階躍函數(shù) 階躍響應(yīng)函數(shù)實(shí)例 2 單位脈沖函數(shù) 第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié)拉氏變換 拉氏變換的定義 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換 第二節(jié)拉氏變換 單位脈沖函數(shù) 單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 3 單位斜坡函數(shù) 第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第二節(jié)拉氏變換 拉氏變換的定義 4 指數(shù)函數(shù) 第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換 第二節(jié)拉氏變換 5 正弦函數(shù)和余弦函數(shù) 第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換 第二節(jié)拉氏變換 第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換 第二節(jié)拉氏變換 6 冪函數(shù) s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的主要運(yùn)算定理 第二節(jié)拉氏變換 拉氏變換 主要運(yùn)算定理 線性定理 相似定理 時(shí)域位移定理 微分定理 復(fù)域位移定理 1 2 3 4 5 積分定理 6 積分定理 8 初值定理 7 卷積定理 9 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的主要運(yùn)算定理 第二節(jié)拉氏變換 線性定理 相似定理 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的主要運(yùn)算定理 第二節(jié)拉氏變換 時(shí)域位移定理 復(fù)域位移定理 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的主要運(yùn)算定理 第二節(jié)拉氏變換 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的主要運(yùn)算定理 第二節(jié)拉氏變換 微分定理 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的主要運(yùn)算定理 第二節(jié)拉氏變換 積分 定理 多重積分的拉氏變換 當(dāng)所有初始值均為零時(shí) s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏變換的主要運(yùn)算定理 第二節(jié)拉氏變換 初值定理 終值定理 卷積定理 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏逆變換的定義 第三拉氏逆變換 拉氏逆變換的定義 s第二章 機(jī)械工程控制論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 拉氏逆變換的數(shù)學(xué)方法 第三拉氏逆變換 拉氏逆變換的數(shù)學(xué)方法 有理函數(shù)法 部分分式法 查表法 根據(jù)拉氏逆變換公式求解。 第 2步 對(duì)非線性項(xiàng)應(yīng)進(jìn)行線性化處理。 ?線性化的方法 （ 1） .忽略弱非線性環(huán)節(jié) （ 如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi) ， 則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小 ， 就可以忽略 ） （ 2） .偏微法 （ 小偏差法 ， 切線法 ， 增量線性化法 ） 偏微法基于一種假設(shè) ， 就是在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過程中 ， 各個(gè)元件的輸入量和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化 。設(shè)系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系為 簡(jiǎn)寫為 。 ?所表示的元件不是線性元件。c1（ t） 滿足齊次性 滿足疊加性和齊次性的元件才是線性元件。 ?所表示的元件不是線性元件。c1（ t） 滿足齊次性 滿足疊加性和齊次性的元件才是線性元件。 用來描述非線性系統(tǒng)。 線性元件：具有疊加性和齊次性的元件稱為線性元件。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無質(zhì)量的彈簧。 （ 1） 每個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及工作臺(tái)質(zhì)量歸算 s（ 2） 傳動(dòng)剛度歸算 （ 3） 粘性阻尼系數(shù)歸算 機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化 為 等效機(jī)械 傳動(dòng) 系統(tǒng) （ 4） 數(shù)控機(jī)床機(jī)械 傳動(dòng) 系統(tǒng)微分方程 （ 5） 等效機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)以電機(jī)軸轉(zhuǎn)角為輸入量 ， 工作臺(tái)位移為輸出量的微分方程 。 ?例 求在外力 F(t)作用下，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。 ? 如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。通常在對(duì)系統(tǒng)一無所知的 情況下，采用這種建模方法。對(duì)于線性系統(tǒng)，它們之間是等價(jià)的。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出信號(hào)不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號(hào)，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)。即只考慮同一時(shí)刻實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，不管各變量隨時(shí)間的演化，輸出信號(hào)與過去的工作狀態(tài)（歷史）無關(guān)。 數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。如果將物理系統(tǒng)在信號(hào)傳遞過程中的動(dòng)態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。機(jī)械工程控制基礎(chǔ) （第二章） 第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的微分方程 系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡(jiǎn)化 考慮擾動(dòng)的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 相似原理 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 數(shù)學(xué)模型的 MATLAB描述 第二 章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的微分方程及線性化方程 拉氏變換及反變換 系統(tǒng)傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖及簡(jiǎn)化 * 系統(tǒng)信號(hào)流圖 本章要熟悉下列內(nèi)容： 建立基本環(huán)節(jié) （ 質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)和電路網(wǎng)絡(luò) ） 的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化 重要的分析工具：拉氏變換及反變換 經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的圖形表示：方框圖及信號(hào)流圖 受控機(jī)械對(duì)象的數(shù)學(xué)模型 繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方框圖 現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：狀態(tài)空間模型 與上述相關(guān)的應(yīng)用 。 經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ) 。（是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特性和輸入輸出關(guān)系的一個(gè)或一組方程式）。因此靜態(tài)模型都是代數(shù)式 ，數(shù)學(xué)表達(dá)式中不含有時(shí)間變量。微分方程或差分方程常用作動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。針對(duì)具體問題，選擇不同的數(shù)學(xué)模型。 但實(shí)際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時(shí)稱為灰盒，可以分析計(jì)算法與工程實(shí)驗(yàn)法一起用，較準(zhǔn)確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 在建模時(shí)將會(huì)遇到模型簡(jiǎn)化與模型精度間的矛盾問題，所以必須對(duì)系統(tǒng)全面了解，有了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，才能分析出系統(tǒng)中各部分結(jié)構(gòu)及參數(shù)作用和影響主次，建立一個(gè)既簡(jiǎn)化又有一定準(zhǔn)確度的適用模型。 m k F(t) x(t)位移 阻尼系數(shù) f 阻尼器 彈簧 （一）機(jī)械系統(tǒng) 首先確定：輸入 F(t),輸出 x(t) 其次：理論依據(jù) 物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積 作用力等于反作用力 ,現(xiàn)在我們單獨(dú)取出 m進(jìn)行分析，這里不考慮重力的影響。 應(yīng)用點(diǎn)評(píng) 把傳動(dòng)系統(tǒng)各部分的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和彈簧剛度歸算到一根軸上，將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)模型，根據(jù)牛頓第二定律建立系統(tǒng)的微分方程，是工程上常用的建立系統(tǒng)微分方程的一種方法。這樣受控對(duì)象的機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量 彈簧 阻尼系統(tǒng)。 疊加性指當(dāng)幾個(gè)激勵(lì)信號(hào)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。 )()(: tytxf ?)()())()(( 2121 tytytxtxf ???? ??? 非線性元件：不具有疊加性和齊次性的元件稱為非線性元件。 線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 又例如：元件的數(shù)學(xué)模型為： 線性元件???? )()()( txtyty不是線性元件????? btxtyty )()()(元件的數(shù)學(xué)模型為： 非線性元件：不具有疊加性和齊次性的元件稱為非線性元件。 線性系統(tǒng)重新定義：若組成系統(tǒng)的各元件均為線性元件，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 又例如：元件的數(shù)學(xué)模型為： 線性元件???? )()()( txtyty不是線性元件????? btxtyty )()()(元件的數(shù)學(xué)模型為： 線性化方法：一般可在系統(tǒng)工作平衡點(diǎn)附近，對(duì)非線性方程采用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開進(jìn)行線性化，略去高階項(xiàng)，保留一階項(xiàng)，就可得到近似的線性模型。如果系統(tǒng)的工作平衡點(diǎn)為 ，則方程可以在 點(diǎn)附近臺(tái)勞展開 如果 很小，可以忽略其高階項(xiàng)，因此上述方程可寫成增量方程形式 其中， ， ， ))(()( txfty ?)( xfy ?yx, x???????? 222)()(21)()()()( xxdx xfdxxdx xdfxfxfyxx?xKy ???)( xfyyyy ????? xxx ???xxdxdfK?? 非線性微分方程的求解很困難。 這一假設(shè)是符合許多控制系統(tǒng)實(shí)際工作情況的 ， 因?yàn)閷?duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)而言 ， 一有偏差就產(chǎn)生控制作用 ， 來減小或消除偏差 ， 所以各元件只能工作在平衡點(diǎn)附近 。 第 3步 消除所建立各微分方程的中間變量，得到描述系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的微分方程 第 4步 一般將與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左側(cè)，與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，整理系統(tǒng)或元件的微分方程 第 5步 167。 Laplace變換表查出相應(yīng)的原函。則有 其中， ? ?nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX?????????????1111110??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kgkrrr mmmmdscsdscspspspsbsbsbsbsXl1121121111110121 ???????????? ?????? ? nkkkrrr gl ???????? ?? 2121 2? ?? ?? ? ? ?nnnnnmmmmnnnnmm