【正文】 機械工程控制基礎(chǔ) 主講人：張燕 機械類專業(yè)必修課 機械與動力工程學院 教學內(nèi)容 課程準備 系統(tǒng)的性能指標與校正 緒 論 系統(tǒng)的時間響應分析 系統(tǒng)的數(shù)學模型 系統(tǒng)的頻率特性分析 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 教學內(nèi)容 第一講 穩(wěn)定性概念 Routh判據(jù) 4 a, b 稱為系統(tǒng)的平衡點 小球在 a處穩(wěn)定， 在 b處不穩(wěn)定 a b a b 擺在 a處穩(wěn)定， 在 b處不穩(wěn)定。 穩(wěn)定性的基本概念 c) 穩(wěn)定 d) 臨界穩(wěn)定 e) 不穩(wěn)定 A b、不穩(wěn)定的擺 A A? A″ a、穩(wěn)定的擺 6 ② ：閉環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng) 可以穩(wěn)定。 +V Light source R Controller F mg I u F mg I ① ：開環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng) 不穩(wěn)定 ① ② 7 針對不穩(wěn)定對象的反饋控制 大部分受控對象是穩(wěn)定的，但反饋控制所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定。 針對穩(wěn)定對象的反饋控制 1)系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象 例：液壓位置隨動系統(tǒng) 原理： 外力 → 閥芯初始位移 Xi(0)→ 閥口 4打開 → 活塞右移 → 閥口關(guān)閉（回復平衡位置） → （慣性）活塞繼續(xù)右移 → 閥口 3開啟 → 活塞左移 → 平衡位置→ （慣性）活塞繼續(xù)左移 → 閥口 4開啟 …… ① 隨動：活塞跟隨閥芯運動 ② 慣性：引起振蕩 ③ 振蕩結(jié)果： ① 減幅振蕩 （收斂，穩(wěn)定） ② 等幅振蕩 （臨界穩(wěn)定） ③ 增幅振蕩 （發(fā)散，不穩(wěn)定） 一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 三、關(guān)于穩(wěn)定性的相關(guān)提法 1. 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性 )(??o? 若 o為系統(tǒng)的平衡工作點，擾動使系統(tǒng)偏離此工作點的起始偏差（即初態(tài)）不超過域 η，由擾動引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應）及其終態(tài)不超過預先給定的整數(shù) ε，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 3. “小偏差 ” 穩(wěn)定性 系統(tǒng)初始偏差（初態(tài)）不超過某一微小范圍時的穩(wěn)定性，稱之為 “ 小偏差穩(wěn)定性 ” 或 “ 局部穩(wěn)定性 ” 。 4. “大范圍 ” 漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為 “ 大范圍漸近穩(wěn)定 ” ，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 2. 漸近穩(wěn)定性 就是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要求由初始狀態(tài)引起的響應最終衰減為零。漸近穩(wěn)定性滿足李氏穩(wěn)定性定義；對非線性定義，這兩種穩(wěn)定性是不同的。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — 穩(wěn)定性概念 控制工程中希望大范圍漸近穩(wěn)定，基于精度要求，也需要確定最大范圍。 四、 Routh穩(wěn)定判據(jù) 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 設(shè)系統(tǒng)的特征方程為： 0)( 0111 ?????? ?? asasasasD nnnn ?兩邊同除 an )())(( 210111 nnnnnnn ssssssaasaasaas ??????? ?? ?? ???????????????????????????????? niinnnjijijinniin sssssss122,111)1(?系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 依據(jù)上式， s的同次冪前系數(shù)應對等 要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負實部，就必須滿足以下兩個條件： ?特征方程的各項系數(shù)都不等于 0； ?特征方程的各項系數(shù)的符號相同。 按習慣，一般取最高階次項的系數(shù)為正，上述兩個條件可以歸結(jié)為 系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)全大于 0，此即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 ??????????????????????????????????niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2,132,1211)1(...??????????????????????????????? niinnnjijijinniin sssssss122,111)1(????? ??nnnnnnaasaasaas 0111 ? 從根與系數(shù)的關(guān)系可以看出， 僅僅有各項系數(shù)大于 0，還不能判定特征根均具有負實部 ，也許特征根中有正有負，它們組合起來仍能滿足“根與系數(shù)的關(guān)系”中的各式。也就是說上式為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，而不是充要條件。 實例分析 1 系統(tǒng)特征方程 0301119)( 234 ?????? sssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。 4s32s1s0 19?3011030?3012030 301111)19(1 ?????? 123030111)30( ??????改變符號一次 改變符號一次 解： 由 Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ? 低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù) ? 二階系統(tǒng) 0)( 2120 ???? asasasD勞斯陣列為： s2 a0 a2 s1 a1 0 s0 a2 a00， a10， a20 從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： ? 三階系統(tǒng) 0)( 322130 ????? asasasasD勞斯陣列為： s3 a0 a2 s2 a1 a3 s1 0 s0 a3 13021 )( aaaaa ?從而，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 特征方程的各項系數(shù)大于零，且： a1a2a0a30 3. Routh判據(jù)的特殊情況 （ 1）如果在 Routh表中任意一行的第一個元素為 0，而其后各元不全為 0，則在計算下一行的元素時，將趨向于無窮大。于是 Routh表計算無法繼續(xù)，為了克服這一困難， 用一個很小的正數(shù) ε 代替第一列的 0，然后計算 Routh表的其余各元。若 ε 上下各元符號不變，且第一列元素符號均為正，則系統(tǒng)特征根中有共軛的虛根。此時，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。 （ 2）如果 Routh表中任意一行的所有元素都為 0， Routh表的計算無法繼續(xù)。此時，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個輔助多項式，并用多項式的導數(shù)的系數(shù)組成 Routh表的下一行。這樣， Routh表就可以計算下去。 出現(xiàn)這種情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個符號相反的實根（系統(tǒng)自由響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對共軛的純虛根（即系統(tǒng)自由響應維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），或是以上幾種根的組合。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 實例分析 2 系統(tǒng)特征方程： 04244)( 2345 ??????? ssssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。 解：列 Routh表如下： 4s32s10s14242?0?? 24 ?4 24 4842? ??? ? ??5 ??004改變符號一次 改變符號一次 由 Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 — Routh穩(wěn)定判據(jù) 實例分析 3 系統(tǒng)特征方程： 0502548242)( 2345 ??????? ssssssD試用 Routh表判斷其穩(wěn)定性。 解：列 Routh表如下： 8964s32s10s12425?48500002450? 5 0050?Routh表中出現(xiàn) 0元行，構(gòu)造輔助多項式如下： 050482)( 24 ???? sssF取 F(s)對 s的導數(shù)得新方程： 0968)( 3 ???? sssF用上式中的系數(shù) 8和 96代替 0元行，繼續(xù)進行運算。 改變符號一次 此表第一列各元符號改變次數(shù)為 1， 該系統(tǒng)包括一個具有正實部的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 根據(jù) Routh判據(jù)， 2p的輔助多項式應該存在 p對實部符號相異、虛部數(shù)值相同的共軛復根。這些特征根可以通過解輔助多項式得到。 本例中輔助多項式為： 050482)( 24 ???? sssF解此輔助多項式可得： 5。1 js