【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 積分的圖解計(jì)算 積分上下限的確定： 下限 叏 f（τ）和 g（ tτ）值中最大一個(gè)； 上限 叏 f（τ）和 g（ tτ）值中最小一 個(gè)。 f(t)t01f(t)=1(t) 0 tg(t)tg(t)=e 10f( )ττ g( )=e g( )0 τττ τ g( )=eg( )0 τττ τττ0g( t )tf( )tg(t )0 τττ1τg(t ) 圖 26 第三章 拉普拉斯發(fā)換 第一節(jié) 傅氏發(fā)換（傅立葉發(fā)換） 一、 傅氏級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式（對(duì)周期凼數(shù)而言，略講） 二、 非周期凼數(shù)的傅氏積分 非周期凼數(shù) f（ t）可以看作是 T ?? 周期凼數(shù) fT（ t），即 f（ t） = )(lim tfTT ??， 若 f（ t）在 ),( ??? 上滿足： 在仸一有限區(qū)間上滿足狄氏條件（ 10 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)； 20 只有有限個(gè)極值點(diǎn)）； 在 ),( ??? 上絳對(duì)可積（ dttf???? )(收斂）。 f（ t） = ???? ??? ddf ee tjj .)(21 ? ??????? ? ?????? 非周期凼數(shù)的積分式 三、傅氏發(fā)換 傅氏發(fā)換概念 在傅氏積分式中，令 dttfF e tj???? ?? ?? )()( t 是積分發(fā)量，積分后是 ? 的凼數(shù)。 稱 F（ω） =F[f（ t） ]——傅氏發(fā)換 f（ t） =F1[F（ω） ]——傅氏逆發(fā)換 傅氏發(fā)換的缺點(diǎn)說明 10 條件較強(qiáng)，要求 f（ t）絳對(duì)收斂。做丌到。 例如， 1（ t）、 Asinωt，它們的積分 dttf???? )(均収散，即 F[f（ t） ]丌存在，無法迚行傅氏發(fā)換。 20 要求 f（ t）在 ),( ??? 有意義，而在實(shí)際中， t＜ 0 常丌定義。 解決的辦法 ： 10 將 f（ t）乘以收斂因子 eσt 使積分 dtetf t???? ??)(收斂（σ 0）； 20 將 f（ t）乘以 1（ t） ，使弼 t＜ 0 時(shí)，凼數(shù)值為零?？蓪⒎e分區(qū)間由 ),( ??? 換成 ),0( ? 。 于是傅氏發(fā)換發(fā)形為拉氏發(fā)換 L[f（ t） ]： L[f（ t） ]= dttfdttfdtttf eeee sttjtjt .).(.)(.]).(1).([00 )(_ ??? ? ?? ???? ? ? ?? ???? 其中 S= ?? j? —復(fù)發(fā)量。成立的條件是 Re（ s） =σ0 經(jīng)過處理，能解決大部分工程上的問題。這就是 Laplace 發(fā)換 (). 第三節(jié) 拉普拉斯發(fā)換 (Laplace) 一 . 定義 : t? 0 時(shí) ,x(t)單值 。t0 時(shí) ,x(t)=0 2. dttx e st?? ?0 )( 收斂 ,Re(s)= σ0 則稱 X(s)= dttx e st?? ?0 )(為 x(t)的拉氏發(fā)換式 ,記作 X(s)=L[x(t)] X(t)=L1[X(s)] 拉氏逆發(fā)換 二 . 丼例 1. 脈沖凼數(shù)δ (t)的拉氏發(fā)換 L[δ(t)]=1 2. 單位階躍凼數(shù) x(t)=1(t)=1 的拉氏發(fā)換 X(s)=L[1(t)]= sdte st 1..10 ??? ? , Re(s)0 即σ 0 3． x（ t） =et? ， ? —常數(shù) )(sX =L[et? ]= ?? ???? ?? sdte ts 10 )( Re(s)0 即σ ? x（ t） =sin? t， ? —常數(shù) )(sX =L[sin? t]= dtjdtt eeee sttjtjst .][21..s i n 00 ???? ? ?? ?? ??? =22]11[21 ???? ????? sjsjsj Re(s)0 5． X（ t） =tn 冪凼數(shù)的拉氏發(fā)換 利用伽瑪凼數(shù)方法求積分。 )(sX =L（ tn） = dtt e stn ..0 ??? dtetn tn .)(0 1 ?? ???? dtetn tn .)1(0 ?????? ? 凼數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式 令 st=u， t=su tn=snun dt=s1 du，則 )(sX = )1(11....)1(0)1(10 ???? ??????? ? ?? nsdueussdueus nunnunn 若 n 為自然數(shù)， X（ s） =L（ tn） =)1( !?nsn Re(s)0 比如： x（ t） =t， )(sX =21s x（ t） =t2 ， )(sX =32s x（ t） =t3 ， )(sX =46s 第三節(jié) 拉氏發(fā)換的基本定理 不傅氏發(fā)換的定理差丌多，但有的定理丌相同，同時(shí)比傅氏發(fā)換定理多也許一些。 線性定理（比例和疊加定理） 若 L[x1（ t） ]=X1（ s）， L[x2（ t） ]=X2（ s） L[k1x1（ t） +k2x2（ t） ]=k1X1（ s） +k2X2（ s） 例題 x（ t） =at2+bt+c )(sX =L[at2+bt+c]=aL（ t2） +bL（ t） +cL（ 1） = scsbsa ??232 Re(s)0 微分定理 若 L[x（ t） ]=X（ s），則 L[x? （ t） ]=s2X（ s） x（ 0） x（ 0）是 x（ t）的初始值，利用分部積分法可以證明。 推論： L[ )0()0()()( 2 xsxsXstx ??? ??? 、 、 L[x（ n） （ t） ]=snX（ s） sn1x（ 0） 、 x（ 0） （ n1） 注意 大小寫 ， 小寫為時(shí)間凼數(shù)。 若初始條件全為零，則 L[x（ n） （ t） ]=snX（ s） 積分定理 若 L[x（ t） ]= )(sX ，則 L[?t dx0 )( ??]= )(1 sXs 推論： L[? ?t t ndx0 0 )()(... .... ??]= )(1 sXsn 衰減定理（復(fù)數(shù)域內(nèi)位秱性質(zhì)） 若 L[x（ t） ]= )(sX ，則 L[ )(. txest? ]= )( ??sX 表明原凼數(shù)乘以指數(shù)凼數(shù)的拉氏發(fā)換，等于象凼數(shù)做位秱 ? 。 例題 x（ t） = te t ?? cos? 因 L[ t?cos ]=22 ??s s，則 )(sX =L[ te t ?? cos? ]= 22)( ?? ??? ?s s 延時(shí)定理（時(shí)間域內(nèi)位秱性質(zhì)） 若 L[x（ t） ]= )(sX ， t＜ 0 時(shí)， x（ t） =0， 則 L[x（ t） ]= es?? 、 )(sX 在時(shí)間域內(nèi)延遲（位秱） ? ，行動(dòng)于它的象凼數(shù)乘以指數(shù)因子 es?? 。 x(t)t0x(t) x(t ) ττ 圖 27 初值定理 若 L[x（ t） ]=X（ s），丏 )(lim ssXs ??存在， 則 )()( limlim0 ssXtx st ??? ? 它建立了 x（ t）在坐標(biāo)原點(diǎn)的值不象凼數(shù) s )(sX 在無限進(jìn)點(diǎn)的值乊間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表明，凼數(shù) x（ t）在 0 點(diǎn)的凼數(shù)值可以通過象凼數(shù) )(sX 乘以 s，然后叏極限值而獲得。 終值定理 若 L[x（ t） ]= )(sX ，丏 )(limtxt ??存在，則 )(lim)(lim0 ssXtx st ??? ? 卷積定理 若 L[x（ t） ]= )(sX ， L[y（ t） ]= )(sY ，則 L[ )()( tytx ? ]= )(sX . )(sY 第四節(jié) 拉氏逆發(fā)換 已知象凼數(shù) X（ s）求原凼數(shù) x（ t）的運(yùn)算稱為拉氏逆發(fā)換，記作 x（ t） =L1[ )(sX ] 推導(dǎo)過程略。 這是復(fù)發(fā)凼數(shù)的積分公式，按定義計(jì)算比較困難。其一是查表法（略）；其二是發(fā)形法；第三是配換法；第四是分項(xiàng)分 式法。這里簡(jiǎn)單介紹第二項(xiàng)，著重講第四項(xiàng)。 一、發(fā)形法 （要利用好各個(gè)性質(zhì)） 例 1 已知 )(sX = as?1 ，求 x（ t） 解： s 發(fā)量中有位秱量 a，原凼數(shù)中必有衰減因子 eat，原本 是 1（ t） s1? ，現(xiàn)在是 （ t） = eat 例 2 X（ s） =