【文章內(nèi)容簡介】 中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖 22,圖 23 所示，圖示方向為矢量正方向。 其中 N和 P為小車與桿相互作用的水平和垂直方向的分量，在實際的倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，即小車向電機方向運行和擺桿的順時針方向旋轉(zhuǎn)為正方向。 圖 22 小車隔離受力分析 圖 23 擺隔離受力分析 在忽略空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，分析小車水平 方向所受的合力，可以得到以下方程： NxbFxM ??? ??? （ 21）對擺桿水平方向受力分析得到以下等式： )s in(dtd 22 ?lxmN ?? （ 22） 即 ???? s inc o s ????? mlmlxmN ??? （ 23） 將式（ 23）代入式（ 21）可得系統(tǒng)第一個運動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推出系統(tǒng)第二個運動方程，對擺桿垂直向上的合力進行分析可得方程： )c os(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） 即 ???? c o ss i n 2??? mlmlmgP ???? （ 2 6） 力矩平衡方程如下： ??? INlPl ??? c o ss in （ 27） 式中： ??? ?? ， ?? coscos ?? ， ?? sinsin ?? 合并式 （ 26） 、式 （ 27） 得第二個運動方程： 10 ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? （ 28） 設(shè) ??????????（ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè) ? 與 1（單位是弧度） 相比很小，即 ? 1，則可以進行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ， 0)( 2 ?dtd?， 用 u 來代表被控對象的輸入力 F，線性化后兩個運動方程如下 ： xmlmglmlI ???? ??? ??)( 2 （ 29） umlxbxmM ???? ????)( （ 210） 對式 (210)進行拉普拉斯變換 ： 222 )()()()( ssm l Xsm g lssmlI ????? （ 211） )()()()()( 22 sUssmlssbXssXmM ????? （ 212） 整理后得到傳遞函數(shù)： sqb mg lsq mg lmIbsq mlIbssqmlsUs???????23)242)(()()( （ 213） 其中 ： ])())([( 22 mlmlImMq ???? 狀態(tài)空間方程 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： BuAXX ??? ， Y=CX+Du 方 程組對 x? ,?? 解代 數(shù)方程，得到解如下： xx ??? （ 214） uMm lmMI mlIMm lmMI glmxMm lmMI bmlIx 2222222 )()()( )( ?? ??????? ??? ???? （ 215） ?? ??? （ 216） uMm lmMI mlMm lmMI mMm glxMm lmMI m l b 222 )()( )()( ????? ???? ?? ?? ??? （ 217） 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010???????????? （ 218） 11 ?????????????????????????????????0001000001?????xxxy （ 219） 由 (211)方程得 ： （ 220） 對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： 231mlI? （ 221） 于是可以得到： xmlm glmlml ???? ??? ??)31( 22 （ 222） 化簡得到： xllg ???? 4343 ?? ?? (223） 設(shè) ? ? xuxxX ???? ??? , ?? 則有 ： ulxxlgxx??????????????????????????????????????????????????????4301004300100000000010???????????? （ 224） uxxxy ??????????????????????????????????0001000001????? （ 225） 直線一級倒立擺系統(tǒng)的定性分析 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： 26 0212 02 )( )( 2 2??? s ssX s （ 226） 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： 26 0212 02 )( )( 2 ??? ssV s （ 227） 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù) : )( )( 23 ????? sss ssU s （ 228） xmlm g lmlI ???? ??? ??)( 2 12 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程 : uxxxx????????????????????????????????????????????????????0010000010???????????? （ 229） ?????????????????????????????????0001000001?????xxxy （ 230） 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程 : uxxxx???????????????????????????????????????????????????????3010100000000010???????????? （ 231） ?????????????????????????????????0001000001?????xxxy （ 232） 在得到系統(tǒng)的數(shù)學模型之后，為了進一步的了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，最主要的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性。對于系統(tǒng)在平衡點鄰域的穩(wěn)定性可以根據(jù)前面得到的系統(tǒng)線性模型分析。一般擺桿豎直向上位置是系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點，需要設(shè)計控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)，因而可以采用平衡點附近位置近似的線性模型來分析。在進行倒立擺的定性分析之前，先介紹線 性控制理論中幾個關(guān)于能控性、能觀性的判定定理 [3] [4] [5]。 定理 1 (可控性判據(jù) )線性定常連續(xù)系統(tǒng) BuAXX ??? 完全可控的充分必要條件是： rank[B AB ? An1B]=n 其中， n 為矩陣 A的維數(shù)， S=[ B AB ? An1B]稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。 定理 2（可觀測性判據(jù)）線性定常連續(xù)系統(tǒng) Axx?? ， 0)0( xx ? ,t≥ 0, Cxy? 完全可觀測性的充分必要條件是： nCACACrankn????????????????1? 這樣的矩陣稱為系統(tǒng)的可觀測性判別陣。 13 定理 3（ 穩(wěn)定性判據(jù) ） Lyapunov 第一法則判定定理：對于線性定常系統(tǒng)? ? 0, 0 , 0x Ax x x t? ? ?有： （ 1） 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在 Lyapunov 意義下穩(wěn)定的充分必要條件是： A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為 A 的最小多項式的單根。（ 2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 0ex? 是漸進穩(wěn)定的充分必要條件是： A的所有特 征值具有負實部。 倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?x t A x t B u ty t C x t D u t??????? 其中， ?????????????100000000010A ?????????????3010B ??????? 0100 0001C ???????00D 對一級倒立擺系統(tǒng)線性狀態(tài)方程，根據(jù)定理 1和定理 2得到： rank[B AB A2 B A3B]=4 rank[C CA CA2 CA3]T=4 所以一級倒立擺系統(tǒng)是能控的和能觀測的。 將 A 的值帶入特征方程 ??det 0IA? ??，經(jīng)過計算可以得到系統(tǒng)的特征值：1, 2 3 , 40 , ??? ? ?，系統(tǒng)有兩重特征根在原點，有一個特征根在復(fù)頻域的右半平面上，有一個特征根在復(fù)頻域的左半平面上，由定理 3 可知：直線一級倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 由以上分析，我們可以知道，直線一級倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但其又是能控和能觀的。