【正文】 大。 (2)旋轉(zhuǎn)倒立擺系 統(tǒng) 旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)是在小車倒立擺系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。與小車倒立擺不同， 3 旋轉(zhuǎn)倒立擺將擺桿安裝在與電機(jī)轉(zhuǎn)軸相連的旋臂上，通過電機(jī)帶動(dòng)旋臂的轉(zhuǎn)動(dòng)來控制擺桿的倒立，擺桿可以在垂直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。 (3)平面倒立擺系統(tǒng) 在平面倒立擺系統(tǒng)中，擺桿底端可以在平面內(nèi)作二維自由運(yùn)動(dòng)，擺桿可沿豎直平面內(nèi)任一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。 (4)柔性倒立擺系統(tǒng) 在柔性倒立擺系統(tǒng)中，由于將勻質(zhì)剛體擺桿換成了柔性擺桿，這種倒立擺的擺桿本身已經(jīng)變成了非線性分布參數(shù)系統(tǒng)。 (5)直線柔性連接倒立擺系統(tǒng) 所謂直線柔性連接倒立擺系統(tǒng)，就是在直線剛性倒立擺的基礎(chǔ) 上，加入自主彈簧系統(tǒng)。電機(jī)連接一個(gè)主動(dòng)小車，而主動(dòng)小車通過一根彈簧作用于從動(dòng)小車，對(duì)固定在從動(dòng)小車上的倒立擺實(shí)施控制。另外，根據(jù)研究的目的和方法不同，倒立擺系統(tǒng)又分為懸掛式倒立擺 (selferecting Inverted Pendulum)、球平衡系統(tǒng) (Ball Balancing)和平行式倒立擺。其中，研究比較多的是懸掛式倒立擺。這種倒立擺開始工作時(shí)，擺桿處于自由下垂?fàn)顟B(tài)?？刂崎_始時(shí)，首先使擺桿按自由振蕩頻率擺動(dòng)，隨著擺桿振蕩幅度的加大，當(dāng)擺桿接近于倒立擺豎直倒立位置時(shí)，自動(dòng)轉(zhuǎn)換控制方法，使其穩(wěn)定于倒置狀態(tài)。根據(jù)導(dǎo)軌的形狀不同，倒立擺的運(yùn)動(dòng)軌道可以是水平的，也可以是傾斜的。 倒立擺研究的發(fā)展?fàn)顩r 倒立擺最初研究開始于二十世紀(jì) 50年代，麻省理工學(xué)院 (MIT)的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。 1966 年 Schaefer 和 cannon 于應(yīng)用 Bang 控制理論 [2]，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置。 60 年代后期，作為一個(gè)典型的快速、多變量、不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性例證，首先提出了倒立擺的概念，一直是控制理論與應(yīng)用的熱點(diǎn)問題。直到 70 年代國內(nèi)外學(xué)者對(duì)不同類型的倒立擺問題進(jìn)行了較為廣泛的 研究。到 80 年代后期，利用模糊控制理論控制倒立擺受到了廣泛重視，其目的在于檢驗(yàn)?zāi)：刂评碚搶?duì)快速、絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)適應(yīng)能力，并且用模糊控制理論控制一級(jí)倒立擺取得了非常滿意的效果 。 1990 年，張乃堯等采用雙閉環(huán)的模糊控制方案 [24]成功地穩(wěn)定住了一級(jí)倒立擺。 1997 年 等設(shè)計(jì)了類 PI 模糊控制器應(yīng)用于一級(jí)倒立擺控制。程福雁先生等研究了使用參變量模糊控制對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行實(shí)時(shí)控制的問題。早在 1963 年， Widrow 和 Smith 就開始將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于倒立擺小車系統(tǒng)的控制。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制能夠任意充分地逼近復(fù)雜的非 線性關(guān)系，能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確 4 定性系統(tǒng)。從 90 年代初神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開始得到快速的發(fā)展。 Deris 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力來整定 PID 控制器參數(shù)。 1993 年， Bouslama 利用一個(gè)簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來學(xué)習(xí)模糊控制器的輸入輸出數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)了新型控制器。還有一些文章利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)學(xué)習(xí)能力來控制倒立擺。多級(jí)倒立擺控制的實(shí)物系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，由于其高度非線形和不確定性是世界公認(rèn)的困難問題。近年來隨著智能控制方法的研究逐漸受到人們的重視，模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、擬人智能控制、遺傳算法和專家系統(tǒng)等越來越多的智能算法應(yīng)用到倒立擺系統(tǒng)的控制 上。還有使用幾種智能控制算法相結(jié)合實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制，比如模糊自適應(yīng)控制、分散魯棒自適應(yīng)控制等。 1994 年 8 月，北京航空航天大學(xué)自動(dòng)控制系張明廉教授等人組成的人工智能小組，成功地用單電機(jī)實(shí)現(xiàn)了對(duì)三級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。這一突破性的成果，將為飛行器、工業(yè)控制及各種復(fù)雜條件下的控制提供新的構(gòu)想，也將預(yù)示著復(fù)雜的控制理論可能產(chǎn)生重大變革。 2020 年 6 月北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的科研團(tuán)隊(duì)采用“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”成功地實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺控制的計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)， 2020 年 8 月又成功地實(shí)現(xiàn)了全球首例“四級(jí)倒立擺實(shí) 物系統(tǒng)控制”。而由此項(xiàng)理論產(chǎn)生的方法和技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人技術(shù)、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空器對(duì)接控制技術(shù)等方面具有廣闊的開發(fā)利用前景。 倒立擺系統(tǒng)的研究意義 用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，是具有挑戰(zhàn)性的課題之一，此項(xiàng)試驗(yàn)研究被稱之為控制研究部門皇冠上的珍珠。倒立擺具有結(jié)構(gòu)簡單，成本低，便于用各種方法進(jìn)行控制的特點(diǎn)，近年來受到了專家學(xué)者的廣泛關(guān)注，成為了研究熱點(diǎn)。倒立擺是一個(gè)高階、多變量、非線性、嚴(yán)重不穩(wěn)定、強(qiáng)耦合的快速系統(tǒng)。對(duì)這一復(fù)雜系統(tǒng)的研究在理論上將涉及系統(tǒng)控制中的許多關(guān) 鍵問題，如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等都可以以它為例進(jìn)行研究。用倒立擺可以檢驗(yàn)各種控制算法的不穩(wěn)定性、非線性和快速系統(tǒng)的控制能力，以及驗(yàn)證各種控制算法與策略的真實(shí)性和有效性。同時(shí)，對(duì)非線性控制理論和方法的研究也可借助倒立擺系統(tǒng)的研究經(jīng)驗(yàn)。因此，倒立擺系統(tǒng)的研究具有較強(qiáng)的理論指導(dǎo)意義。日常生活中常見的重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題，以及各類伺服云臺(tái)和空間飛行器的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性。對(duì)于這類控制系統(tǒng)的研究都可以借鑒倒立擺的研究成果，因此，倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的工程 背景和實(shí)際意義。采用遺傳算法優(yōu)化倒立擺擺起控制決策，是一種近似全局優(yōu)化的方法，可以為專家系統(tǒng)或智能控制方法提供更多的參考和借鑒。對(duì)于倒立擺這樣的復(fù)雜系統(tǒng)，也是遺傳算法較好的研究對(duì)象。 5 遺傳算法概述 遺傳算法（ Geic Algorithm）是一類借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律（適者生存，優(yōu)勝劣汰遺傳機(jī)制）演化而來的隨機(jī)化搜索方法。它是由 美國 的 教授 1975年首先 提出，其主要特點(diǎn)是直接對(duì)結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行操作，不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定；具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力；采用概率化的尋優(yōu)方法，能自動(dòng)獲取和指導(dǎo)優(yōu)化的搜索空間，自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向，不需要確定的規(guī)則。遺傳算法的這些性質(zhì)，已被人們廣泛地應(yīng)用于組合優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)、信號(hào)處理、 自適應(yīng)控制 和人工生命等領(lǐng)域。 進(jìn)入 90 年代，遺傳算法迎來了興盛發(fā)展時(shí)期，無論是理論研究還是應(yīng)用研究都成了十分熱門的課題。尤其是遺傳算法的應(yīng)用研究顯得格外活躍，不但它的應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)大，而且利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化和規(guī)則學(xué)習(xí)的能力也顯著提高，同時(shí)產(chǎn)業(yè)應(yīng)用方面的研究也在摸索之中。此外一些新的理論和方法在應(yīng)用研究中亦得到了迅速的發(fā)展，這些無疑均給遺傳算法增添了新的活力。遺傳算法的應(yīng)用研究已從初期的組合優(yōu)化求解擴(kuò)展到了許多更新、更工程化的應(yīng)用方面。 隨著應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)展，遺傳算法的研究出現(xiàn)了幾個(gè)引人注目的新動(dòng)向：一是基于遺傳算法的機(jī)器學(xué)習(xí)，這一新的研究課題把遺傳算法從歷來離散的搜索空間的優(yōu)化搜索算法擴(kuò)展到具有獨(dú)特的規(guī) 則生成功能的嶄新的機(jī)器學(xué)習(xí)算法。這一新的學(xué)習(xí)機(jī)制對(duì)于解決 人工智能 中知識(shí)獲取和知識(shí)優(yōu)化精煉的瓶頸難題帶來了希望。二是遺傳算法正日益和 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 、模糊推理以及混沌理論等其它智能計(jì)算方法相互滲透和結(jié)合，這對(duì)開拓 21 世紀(jì)中新的智能計(jì)算技術(shù)將具有重要的意義。三是 并行處理 的遺傳算法的研究十分活躍。這一研究不僅對(duì)遺傳算法本身的發(fā)展，而且對(duì)于新一代智能 計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu) 的研究都是十分重要的。四是遺傳算法和另一個(gè)稱為人工生命的嶄新研究領(lǐng)域正不斷滲透。所謂人工生命即是用 計(jì)算機(jī)模擬 自然界豐富多彩的生命現(xiàn)象，其中生物的自適應(yīng)、進(jìn)化和免疫等現(xiàn)象是人工生命的重要研究對(duì)象，而遺傳算法在這方面將會(huì)發(fā)揮一定的作用，五是遺傳算法和進(jìn)化規(guī)劃（ Evolution Programming,EP）以及進(jìn)化策略（ Evolution Strategy,ES）等進(jìn)化計(jì)算理論日益結(jié)合。 EP 和 ES 幾乎是和遺傳算法同時(shí)獨(dú)立發(fā)展起來的，同遺傳算法一樣，它們也是模擬自然界生物進(jìn)化機(jī)制的智能計(jì)算方法，即同遺傳算法具有相同之處 ，也有各自的特點(diǎn)。目前，這三者之間的比較研究和彼此結(jié)合的探討正形成熱點(diǎn)。 1991 年 在他的論文中提出了基于領(lǐng)域交叉的交叉算子（ Adjacency based crossover），這個(gè)算子是特別針對(duì)用序號(hào)表示基因的個(gè)體的交叉，并將其應(yīng)用 6 到了 TSP 問題中，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證。 等提出了隨機(jī)迭代遺傳爬山法（ Stochastic Iterated Geic Hillclimbing， SIGH）采用了一種復(fù)雜的概率選舉機(jī)制 [15][16]，此機(jī)制中由 m個(gè) “ 投票者 ” 來共同決定新個(gè)體的值（ m 表示群體的大小）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， SIGH 與單點(diǎn)交叉、均勻交叉的神經(jīng)遺傳算法相比，所測(cè)試的六個(gè)函數(shù)中有四個(gè)表現(xiàn)出更好的性能，而且總體來講， SIGH 比現(xiàn)存的許多算法在求解速度方面更有競(jìng)爭(zhēng)力。 （ simplex method）結(jié)合起來 [19][20]，形成了一種叫單一操作的多親交叉算子（ simplex crossover），該算子在根據(jù)兩個(gè)母體以及一個(gè)額外的個(gè)體產(chǎn)生新個(gè)體，事實(shí)上他的交叉結(jié)果與對(duì)三個(gè)個(gè)體用選舉交叉產(chǎn)生的結(jié)果一致。同時(shí)，文獻(xiàn)還將三者交叉算子與點(diǎn)交叉、均勻交叉做了比較，結(jié)果表明，三者交叉算子比其余兩個(gè)有更好的性能。 國內(nèi)也有不少的專家和學(xué)者對(duì)遺傳算法的交叉算子進(jìn)行改進(jìn)。 2020 年，戴曉明等應(yīng)用多種群遺傳并行進(jìn)化的思想，對(duì)不同種群基于不同的遺傳策略，如變異概率，不同的變異算子等來搜索變量空間，并利用種群間遷移算子來進(jìn)行遺傳信息交流，以解決經(jīng)典遺傳算法的收斂到局部最優(yōu)值問題 2020 年， 趙宏 立等針對(duì)簡單遺傳算法在較大規(guī)模組合優(yōu)化問題上搜索效率不高的現(xiàn)象，提出了一種用基因塊編碼的并行遺傳算法（ Buildingblock Coded Parallel GA， BCPGA）。該方法以粗粒度并行遺傳算法為基本框架，在染色體群體中識(shí)別出可能的基因塊，然后用基因塊作為新的基因單位對(duì)染色體重新編碼，產(chǎn)生長度較短的染色體，在用重新編碼的染色體群體作為下一輪 以相同方式演化的初始群體。 2020 年， 江雷 等針對(duì)并行遺傳算法求解 TSP 問題 ,探討了使用彈性策略來維持群體的多樣性 ,使得算法跨過局部收斂的障礙 ,向全局最優(yōu)解方向進(jìn)化。 7 第二章 直線一級(jí)倒立擺的建模與定性分析 直線一級(jí)倒立擺的模型 倒立擺不僅僅是一種優(yōu)秀的教學(xué)實(shí)驗(yàn)儀器，同時(shí)也是進(jìn)行控制理論研究的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。由于倒立擺系統(tǒng)本身具有的高階次、不穩(wěn) 定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合特性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將它視為典型的研究對(duì)象，不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法，相關(guān)的科研成果在航天科技和機(jī)器人學(xué)方面獲得了廣闊的應(yīng)用。二十世紀(jì)九十年代以來，更加復(fù)雜多種形式的倒立擺系統(tǒng)成為控制理論研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，每年在專業(yè)雜志上都有大量的優(yōu)秀論文出現(xiàn)。因此，倒立擺系統(tǒng)在控制理論研究中是一種較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置 [16][17]。 在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量或變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在靜態(tài)條件下 (即變量各階導(dǎo) 數(shù)為零 )，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學(xué)模型；而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的首要工作。 建立控制系統(tǒng)模型的方法可以分為兩種方式：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。實(shí)驗(yàn)建模是通過在研究對(duì)象上加入各種由研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象，并通過傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用系統(tǒng)辯識(shí)的手法分析輸入 輸出關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型逼近實(shí)際系統(tǒng)。 機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理，化學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入一狀態(tài)關(guān)系。 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要因素后，例如空氣阻力、伺服電機(jī)的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度、擺桿連接處質(zhì)量分布不均勻、傳動(dòng)皮帶的彈性、傳動(dòng)齒輪的間隙等等。為了方便研究倒立擺系統(tǒng)的控制方法，建立一個(gè)比較精確的倒立擺系統(tǒng)的 模型時(shí)必不可少的。 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難，但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一下 一些因素：故而選用機(jī)理建模的方法。為了在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和分析的方便，可作出如下假設(shè)： 1)擺桿在運(yùn)動(dòng)中是不變形的剛體； 2)齒型帶與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，齒型帶無拉長現(xiàn)象； 8 3)各種摩擦系數(shù)固定不變； 4)忽略空氣阻力； 將小車抽象為質(zhì)點(diǎn)，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，擺桿繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣可以通過力學(xué)原理建立系統(tǒng)較為精確的數(shù)學(xué)模型，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 21所示。 圖 21 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng) 一級(jí)倒立擺的參數(shù)如下表 21所示。 表 21 一級(jí)倒立擺的參數(shù) 符號(hào) 含義 數(shù)值 x 小車相對(duì)初始位置的位移 m M 小車質(zhì)量 l 一級(jí)擺質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸 O1 的距離 25cm θ 擺桿與垂直向上方向的夾角 rad m 一級(jí)擺桿質(zhì)量 φ 擺桿與垂直向下方向的夾角 rad I 擺桿慣量 *m*m b 小車的滑動(dòng)摩擦系數(shù) *s/m L 一級(jí)擺桿長度 50cm F 作用在倒立擺系統(tǒng)上的控制量 (力 ) N 9 在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)