【文章內(nèi)容簡介】 定在同一側(cè)，直流電機通過傳送帶驅(qū)動小車沿導軌運動。導軌的兩端裝有行程開關(guān)，限制小車的左右位置。為了在數(shù)學上推導和處理問題的方便，可作出如下假設(shè)：（1） 擺桿在運動中是不變形的剛體；（2） 齒型帶與輪之間無相對滑動，齒型帶無拉長現(xiàn)象；（3） 小車在運動過程中，摩擦系數(shù)一定；（4） 忽略空氣阻力； 基于以上幾點，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)（）mMuxFθ0 一級倒立擺小車擺桿位置圖在本文中，將應(yīng)用牛頓一歐拉法對倒立擺進行數(shù)學建模[17]。中假設(shè):x小車位移，單位(m)。β擺桿與垂直方向的夾角，單位(rad)。M小車的質(zhì)量，單位(kg)。m擺桿的質(zhì)量，單位(kg)。l擺桿的轉(zhuǎn)動軸心到擺桿質(zhì)心的長度，單位m。J擺桿對重心的轉(zhuǎn)動慣量，單位()。u電機對小車施加的作用力，單位(N)。F小車所受的等效摩擦力，單位(N)。b小車所受的等效摩擦系數(shù)，單位(N/m/s)。f擺桿所受的摩擦阻力矩系數(shù)，單位()。首先，對小車進行受力分析。MuFuP 小車隔離受力圖其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖2．4中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向分量，F(xiàn)為小車受到的作用力，x為小車位移，β為擺桿與垂直向上方向的夾角，θ為擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下)。分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程: （21） （22）其次，對擺桿進行受力分析。mgθP 擺桿受力分析圖 （23）即： （24）把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：得 （25）為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析(圖2．5)，可以得到下面方程： （26）即： （27）力矩平衡方程為 （28）注意：此方程中力矩的方向，由于，，故等式前面有負號。為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程： （29）用U來代表被控對象的輸入力F，則運動方程組為：設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)無限趨近于零，則可以進行近似處理：，，用u來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下： （210）對上式做拉普拉斯變換，得： （211）注意：推導傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度為Φ，求解方程組(211)的第一個方程，可以得到： （212）把式(2．12)代入方程組(2．9)的第二個方程，得到：整理后得到傳遞函數(shù)為[18]： （213）由于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達式為： （214）方程組（214）對，解代數(shù)方程，得到解如下： （215）式215為直線一級倒立擺系統(tǒng)在平衡點附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為[19]：（216） （217）由此可見，一級倒立擺實際上是一個單輸人多輸出的系統(tǒng)。只要將直線一級倒立擺的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)（，，，）代入上面兩式，得：對應(yīng)系數(shù)矩陣為：，， 在得到系統(tǒng)的數(shù)學模型之后，為進一步了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，最主要的是對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性的分析[20]。豎直向上位置是直線一級倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點，可以設(shè)計穩(wěn)定控制器來使直線一級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個點。既然需要設(shè)計控制器穩(wěn)定系統(tǒng)，那么就要考慮系統(tǒng)是否能控。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點附近的性質(zhì)，因而可以采用線性化模型來分析。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一般可以應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。對于系統(tǒng)在平衡點鄰域的穩(wěn)定性可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進行分析。在對時不變系統(tǒng)進行定性分析時，一般要用到線性控制理論中的穩(wěn)定性、能控性和能觀性判據(jù)。 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 在經(jīng)典控制理論中，對線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念是這樣定義的：如果系統(tǒng)由于受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動去除后，如果能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點，并觀察是否含有實部大于零的極點(不穩(wěn)定極點)。如果有這樣的極點，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。要得出傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)和狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點，只需簡單的調(diào)用MATLAB函數(shù)roots(den)或eig(A)即可，這樣就可以由得出的極點位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。在MATLAB中，將實際系統(tǒng)的模型參數(shù)M=，m=，b=／m／s， l=，I=mm代入式通過計算得到傳遞函數(shù)。仿真程序見下：M=；m=；b=；1=；I=；g=；q=(M+m)*(1+m*l?2)(m*1)?2；num=[m*l／q 0 0]den=[1 b*(I+m*l?2)／q(M+m)*m*g*l／qb*m*g*l／q 0]G=tf(num，den)；Gl=ss(G)；eig(GI．a(chǎn))t=0：：5impulse(num，den，t)；axis([0 1 0 60])grid結(jié)果如下：num= 0 0den= 0ans= O因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達式為：系統(tǒng)的開環(huán)極點為s=0，s=5．2727，s=5．2780，s=0．0830。由于有一個開環(huán)極點位于S平面的右半部，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。所謂系統(tǒng)的可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)是否能夠被控制。對于一個線性定常系統(tǒng)（A,B,C）,其狀態(tài)向量x屬于n維實空間，即。若對R空間中任意一個狀態(tài)x(t)狀態(tài)與R空間中另任意一個狀態(tài)x(t)狀態(tài)，存在一個有限的時間t t及輸入u(t, t),能在t內(nèi)使x(t)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到x(t)，則系統(tǒng)叫做完全可控（簡稱可控）。可控性概念僅僅要求輸入u能在有限的時間內(nèi)，使系統(tǒng)由狀態(tài)的任意一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一任意狀態(tài)。沒有規(guī)定轉(zhuǎn)移的軌跡，也沒有限制輸入量的大小。如果系統(tǒng)至少有一個狀態(tài)是不可控的，那么系統(tǒng)就是不完全控制的（簡稱不可控）?？紤]線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程：，, 其中，x是狀態(tài)向量，u是輸入向量，A，B都是常數(shù)陣?？梢愿鶕?jù)矩陣A和B確定系統(tǒng)的能控性。線性定常系統(tǒng)對于完全能控的充要條件是下列命題中任何一個成立：（1） 矩陣的行在[0,）上線性獨立。（2） 對于任何t, t0和；如下定義的格蘭姆矩陣非奇異： (3) ,其中, (4) 矩陣(SiA)B的行線性獨立。 式(215)中n是系統(tǒng)的階次。矩陣稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣，該矩陣可以由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的ctrb()函數(shù)自動產(chǎn)生出來。其調(diào)用格式為：，可求出系統(tǒng)的能控矩陣：矩陣的秩rank()稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。如果rank()=n，則系統(tǒng)完全能控。利用MATLAB可以求出rank()=4，即矩陣滿秩，可知系統(tǒng)可控，具體程序見附錄。 系統(tǒng)可觀測性分析若一個n維線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其中A、B、C、D分別為nn、nr、mn、mr常數(shù)矩陣。若在有限時間[t t]內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)與給出的u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t)的每一個分量,則稱此系統(tǒng)為完全可觀測的。若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可測的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測的。系統(tǒng)的可觀測性只取決于狀態(tài)方程的A、C矩陣，可以構(gòu)造一個變換矩陣：上式中n是系統(tǒng)的階次。矩陣稱為系統(tǒng)的能觀測變換矩陣，該矩陣可以由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的obsv(A，C)函數(shù)自動產(chǎn)生出來。其調(diào)用格式為：同理，可求出系統(tǒng)的能觀測矩陣：矩陣的秩rank()稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能觀測狀態(tài)的數(shù)目。如果rank()=n，則系統(tǒng)完全能觀測。由式子 其中 我們可知 rank()=4，即矩陣乃滿秩，系統(tǒng)可觀測，具體程序見附錄。我們可以看出，一級倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為4，所以系統(tǒng)是完全能控、完全能觀的。綜上所述，可以得知直線一級倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定且能控能觀系統(tǒng)[21]。 本章小結(jié)本章應(yīng)用Newton法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學模型，推導了該系統(tǒng)的運動方程，求出了直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進行了分析，得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。第三章 直線一級倒立擺的穩(wěn)定控制方案 倒立擺的穩(wěn)定控制方案比較模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、PID控制、狀態(tài)反饋控制、最優(yōu)控制等均可以用于倒立擺系統(tǒng)進行穩(wěn)定控制，這些方法各具優(yōu)缺點，下面對這幾種控制方法進行比較分析[22]。 模糊控制算法模糊控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可以分為5個不同的部分：（1）定義變量：包括模糊控制器的輸入變量和輸出變量。輸入變量一般為誤差E和誤差變化率EC，輸出變量為系統(tǒng)的控制量；（2）模糊化：將輸入變量以適當?shù)谋壤D(zhuǎn)換到論域的數(shù)值；（3）知識庫：包括數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫。數(shù)據(jù)庫提供必要的定義，規(guī)則庫由語言控制規(guī)則描述控制目標和策略；（4）邏輯判斷：運用模糊邏輯進行模糊推理得到模糊控制信號；（5）解模糊化：將邏輯判斷階段得到的模糊控制信號變?yōu)閷嶋H的控制信號。模糊控制器是一種語言變量控制器，控制規(guī)則策略簡單、直觀，不需要復雜的推理計算，是解決倒立擺這類不確定性系統(tǒng)的一種有效途徑。將模糊控制理論用于倒立擺系統(tǒng)中，仿真證明，控制效果并不理想，主要原因是模糊控制規(guī)則確定起來比較困難，控制規(guī)則不全，系統(tǒng)極易失控。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個并行和分布式的信息處理網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般由多個神經(jīng)元組成，每個神經(jīng)元有一個單一的輸出，它可以連接到很多其它的神經(jīng)元，其輸入有多個連接通路，每個連接通路對應(yīng)一個連接權(quán)系數(shù)。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和生物神