【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 龐加萊（Poincare）的相平面分析法。第二階段：“現(xiàn)代控制理論”階段。時(shí)間為本世紀(jì)60~70年代。隨著60年代以來航天飛行器等空間技術(shù)飛速發(fā)展的需求而發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論，其主要用于研究多輸入多輸出的被控對(duì)象，系統(tǒng)可以是線性的或非線性的，定常的或是時(shí)變的。它用一組微分方程（狀態(tài)方程）來代替經(jīng)典控制理論中的一個(gè)高階微分方程來描述整個(gè)系統(tǒng)，而且把系統(tǒng)中各個(gè)變量均取為時(shí)間t的函數(shù)，因而屬于時(shí)域分析方法，它區(qū)別于經(jīng)典控制理論中的頻域法，因此更有利于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算；此外，狀態(tài)變量的選取可以不一定是系統(tǒng)的物理量，因而具有很大的自由度。在這一階段，主要的研究?jī)?nèi)容和代表人物包括：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述和能控性、能觀性的分析；李亞普諾夫穩(wěn)定性理論和李亞普諾夫函數(shù)（V函數(shù)）；建立在統(tǒng)計(jì)函數(shù)理論上，應(yīng)用相關(guān)函數(shù)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性測(cè)量（即系統(tǒng)識(shí)別）卡爾曼（）濾波理論；為使系統(tǒng)按某一最佳運(yùn)行方式工作，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能指標(biāo)泛函最小的“系統(tǒng)最佳控制”，龐特里亞金發(fā)表了極大值原理以及貝爾曼提出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃最佳原理；在70年代初，奧斯特隆姆和郎道在自適應(yīng)控制理論的研究和發(fā)展方面做出了貢獻(xiàn)。第三階段：“大系統(tǒng)理論”和“智能控制理論”階段。時(shí)間為70年代末至今?！敖?jīng)典控制理論”和“現(xiàn)代控制理論”在存在精確數(shù)學(xué)模型的控制領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用，并取得了令人滿意的效果。但是對(duì)于那些不具有精確數(shù)學(xué)模型的控制對(duì)象，就顯得無能為力。在這種情況下，70年代末開始的大系統(tǒng)理論和智能控制理論的研究與應(yīng)用，是現(xiàn)代控制理論在深度上的開拓。“大系統(tǒng)理論”使用控制和信息的觀點(diǎn)研究各種大系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方案、總體設(shè)計(jì)中分解方法和協(xié)調(diào)的問題的技術(shù)基礎(chǔ)理論。而作為80年代以來發(fā)展迅速的“智能控制”理論受到人們的極大關(guān)注。它是研究與模擬人類智能活動(dòng)及其控制與信息傳遞過程中的規(guī)律，以此研究具有某些仿人智能的控制，并將其應(yīng)用于信息處理系統(tǒng)。智能控制具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1） 以專家或熟練操作工人的知識(shí)為基礎(chǔ)進(jìn)行推理，用啟發(fā)式來引導(dǎo)問題求解過程。（2） 對(duì)外界環(huán)境和系統(tǒng)過程進(jìn)行理解、判斷、預(yù)測(cè)和規(guī)劃，采用符號(hào)信息處理、啟發(fā)式程序設(shè)計(jì)、知識(shí)表達(dá)和自學(xué)習(xí)、推理與決策等智能化技術(shù)，實(shí)現(xiàn)宏知識(shí)問題的綜合性求解。我們以一級(jí)倒立擺為例，先來研究現(xiàn)代控制理論在多變量、非線性系統(tǒng)控制中的控制方法。 經(jīng)典控制理論 PID控制現(xiàn)狀偏差的比例(Proportional)、積分(Integral)和微分(Derivative)的綜合控制，簡(jiǎn)稱PID控制。由于其算法簡(jiǎn)單、魯棒性能好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，PID控制策略被廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。國(guó)際上有一些研究文章陳述了當(dāng)前工業(yè)控制的狀況，如日本電子測(cè)量?jī)x表制造協(xié)會(huì)的一份調(diào)查報(bào)告表明90%以上的控制回路是采用PID控制理論。PID控制應(yīng)用如此廣泛主要有以下幾個(gè)原因:第一，PID控制器有很長(zhǎng)的應(yīng)用歷史，只要設(shè)計(jì)和參數(shù)整定合適，在許多應(yīng)用場(chǎng)合都能獲得較滿意的效果。第二，由于PID控制器有一個(gè)相對(duì)固定的結(jié)構(gòu)形式，一般僅有三個(gè)參數(shù)需要設(shè)置，不需要精確的數(shù)學(xué)模型；并且PID控制器操作簡(jiǎn)單、維護(hù)方便，對(duì)設(shè)備和技術(shù)人員的要求不高；因而在現(xiàn)有控制系統(tǒng)中使用容易。第三，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，一些優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制的復(fù)雜控制算法能夠得到實(shí)現(xiàn)。 PID控制的基本原理，系統(tǒng)由PID控制器和被控對(duì)象組成。常規(guī)PID控制器作為一種線性控制器，它根據(jù)設(shè)定值和實(shí)際輸出值構(gòu)成控制偏差: (31)將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，所以稱為PID控制器?？刂破鞯妮斎胼敵鲫P(guān)系可描述為: PID控制系統(tǒng)原理圖 （32）式中:—比例系數(shù)—積分時(shí)間常數(shù)—微分時(shí)間常數(shù)PID控制器的各校正環(huán)節(jié)的作用如下:比例環(huán)節(jié)的引入是為了及時(shí)成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)，以最快的速度產(chǎn)生控制作用，使偏差向減小的方向變化。偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。積分環(huán)節(jié)主要作用是用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度。即積分環(huán)節(jié)可以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的控制精度。積分作用的強(qiáng)弱主要取決于積分時(shí)間常數(shù),越大，積分作用越弱，反之越強(qiáng)。 微分環(huán)節(jié)的引入主要是為了改善閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度。它能反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)(變化速率)，并在偏差信號(hào)變化之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。 常用PID數(shù)字控制系統(tǒng)在控制工程中，用計(jì)算機(jī)PID控制算法程序?qū)崿F(xiàn)數(shù)字PID控制器，組成計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。常用PID控制系統(tǒng)有以下幾種類型。系統(tǒng)只有一個(gè)PID控制器。 單回路PID控制系統(tǒng)框圖串級(jí)控制是改善控制系統(tǒng)控制品質(zhì)的有效方法之一，在工業(yè)控制中得到廣泛應(yīng)用。，系統(tǒng)中有兩個(gè)控制器。圖中，控制稱為副控制器，包圍的內(nèi)環(huán)稱為副回路；稱為主控制器，包圍的外環(huán)稱為主回路。主控制器的輸出控制量作為副回路的給定量。串級(jí)控制系統(tǒng)的計(jì)算順序是先主回路()后副回路()。控制方式有兩種:一種是異步采樣控制，即主控回路的采樣控制周期是副控回路采樣周期的整數(shù)倍。這是因?yàn)橐话愦?jí)控制系統(tǒng)中的主控對(duì)象的響應(yīng)速度慢，副控對(duì)象的響應(yīng)速度快的緣故。另一種是同步采樣，即主副回路的采樣控制周期相同。這是應(yīng)根據(jù)副控回路選擇采樣周期，這是因?yàn)楦笨貙?duì)象的響應(yīng)速度較快。 典型串級(jí)系統(tǒng)框圖串級(jí)控制的主要優(yōu)點(diǎn)是:(1)副控回路所受到的干擾，當(dāng)還未影響到被控量時(shí)，就得到副回路的控制。(2)副控回路中參數(shù)的變化，由副控回路給予控制，對(duì)被控量的影響大為減弱。(3)副控回路的慣性由副控回路給予調(diào)節(jié)，因而提高了整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)速度。為了適應(yīng)生產(chǎn)生活中的其他控制系統(tǒng)的要求，除了以上兩種數(shù)字PID控制系統(tǒng)以外，常見的控制系統(tǒng)還包括:前饋一反饋控制系統(tǒng)、純滯后補(bǔ)償系統(tǒng)。 現(xiàn)代控制理論由于倒立擺系統(tǒng)中有四個(gè)狀態(tài)變量，而PID控制器只有三個(gè)參數(shù)，控制起來就沒有狀態(tài)反饋控制更容易，更方便，所以本文選用了狀態(tài)反饋控制法。對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制的基本目的為：；；系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程迅速，振蕩不要過甚；能很好的改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)平衡是的擺動(dòng)現(xiàn)象。倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)非線性的系統(tǒng)，但是我們的控制目標(biāo)是將其控制在平衡位置——擺桿與垂直方向的夾角趨向于零。所以在這平衡位置將其線性化后，從而判斷其穩(wěn)定性，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)這個(gè)非線性被控制對(duì)象是有意義的。經(jīng)分析，一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是完全能控和完全能觀測(cè)的。根據(jù)線性系統(tǒng)理論的知識(shí)，完全能控和完全能觀的系統(tǒng)可以通過對(duì)狀態(tài)反饋矩陣的選擇，使系統(tǒng)的極點(diǎn)按照性能指標(biāo)得到任意的配置，所以一級(jí)倒立擺系統(tǒng)經(jīng)過狀態(tài)反饋以后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)是能夠穩(wěn)定的。狀態(tài)反饋所需要的全部狀態(tài)可以通過狀態(tài)觀測(cè)器來獲得。我們選擇控制方案時(shí)的基本思想為：控制器的設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，比較容易實(shí)現(xiàn)，并且應(yīng)該具有良好的魯棒性。具體控制方案為：1. 控制規(guī)律是線性定常狀態(tài)反饋，反饋增益應(yīng)用線性二次最優(yōu)（LQR）理論或是極點(diǎn)配置理論算出。2. 采用全維狀態(tài)觀測(cè)器來重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)。 極點(diǎn)配置[11]控制系統(tǒng)的各種特性及其各種品質(zhì)指標(biāo)很大程度上由閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位置來決定。極點(diǎn)配置問題就是通過狀態(tài)反饋矩陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在所希望的位置上，從而可以達(dá)到一定的性能指標(biāo)要求。設(shè)受控系統(tǒng)在線性狀態(tài)反饋規(guī)律的作用下，成為閉環(huán)系統(tǒng)。現(xiàn)在我們的目標(biāo)是如何選擇狀態(tài)反饋矩陣K，使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在希望的位置上。對(duì)于一般的受控系統(tǒng)，很難直觀地看出如何選取K矩陣，我們通常是先將原受控系統(tǒng)經(jīng)過坐標(biāo)變換T化為第二可控標(biāo)準(zhǔn)型，的狀態(tài)反饋矩陣的選取是直觀的。我們將找到的再經(jīng)過坐標(biāo)變換就可以求出K。： 狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖設(shè)原受控系統(tǒng)通過非奇異坐標(biāo)形變換T變換為第二可控標(biāo)準(zhǔn)型。其中： ； （33）下圖中，實(shí)線部分是可控標(biāo)準(zhǔn)型的結(jié)構(gòu)。虛線部分表示狀態(tài)反饋規(guī)律的結(jié)構(gòu)。 極點(diǎn)配置原理圖我們可以看出，結(jié)構(gòu)中的放大器和反饋結(jié)構(gòu)中的可以合并為一個(gè)放大器，則閉環(huán)系統(tǒng)仍然是可控標(biāo)準(zhǔn)型，其系統(tǒng)矩陣是： （34）則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為： （35）設(shè)給定的希望閉環(huán)極點(diǎn)組為：，則希望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為： （36）令其與（35）相等，可以解出：。 則可控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)反饋矩陣是： 與原受控系統(tǒng)的線性反饋規(guī)律比較，得：為了使系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)在階躍輸入下響應(yīng)快且超調(diào)小，我們可以取主導(dǎo)極點(diǎn)為。所選極點(diǎn)為： 在MATLAB下，應(yīng)用函數(shù)可求得式（28）所示系數(shù)的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣： 。 線性二次型最優(yōu)的控制理論[7,8]如果我們所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)能使某個(gè)性能指標(biāo)達(dá)到最好的值，就是最控制系統(tǒng)。我們?cè)O(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：若用表示系統(tǒng)的期望輸出，則從系統(tǒng)的輸出端定義：為系統(tǒng)的誤差向量，是1*1的向量。取最優(yōu)控制是基于誤差向量構(gòu)成的指標(biāo)函數(shù)：取極小值，其中為1*1的半正定矩陣，為的對(duì)稱半正定矩陣，為1*1的半正定矩陣。它們是用來權(quán)衡向量以及控制向量在指標(biāo)函數(shù)中的重要程度的加權(quán)矩陣。其中各項(xiàng)所表示的物理意義簡(jiǎn)述如下：（1）被積函數(shù)中的第一項(xiàng)是在控制過程中由于誤差的存在而出現(xiàn)的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。由于加權(quán)矩陣是對(duì)稱半正定的，故只要誤差存在，該代價(jià)函數(shù)總為非負(fù)。它說明，當(dāng)時(shí)，代價(jià)函數(shù)為零，而誤差越大，則因此付出的代價(jià)也越大。如果誤差為標(biāo)量函數(shù)，則此項(xiàng)變成。于是上述代價(jià)函數(shù)的積分為，這便是在古典控制理論中熟悉的用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的誤差平方積分準(zhǔn)則。（2）被積函數(shù)中的第二項(xiàng)是用來衡量控制作用強(qiáng)弱的代價(jià)函數(shù)項(xiàng)。由于加權(quán)矩陣是對(duì)稱正定的，故只要有控制存在，該代價(jià)函數(shù)總是正的，而且控制越大，則付出的代價(jià)也越大。加權(quán)矩陣和的選取是立足于提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷考慮上的。這體現(xiàn)在，如果重視提高控制性能，則應(yīng)增大加權(quán)矩陣的各個(gè)元素；反之，如果重視降低控制的能量消耗，則要增大加權(quán)矩陣的各個(gè)元素。（3）指標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng)是在終端時(shí)刻上對(duì)誤差要求設(shè)置的代價(jià)函數(shù)。它表示在給定的終端時(shí)刻到來時(shí)，系統(tǒng)實(shí)際輸出接近期望輸出的程度。綜上所述，具有二次型指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題，實(shí)際上在于用不大的控制能量來實(shí)現(xiàn)較小的誤差，以在能量和誤差這兩方面實(shí)現(xiàn)綜合最優(yōu)。因?yàn)樵诘沽[系統(tǒng)中，及，則有，并且倒立擺的控制是時(shí)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)問題，所以指標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為：我們采用反饋控制：其中，，為滿足方程的唯一正定對(duì)稱解： 加權(quán)矩陣的選取盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實(shí)際應(yīng)用中仍然存在不少問題，其中一個(gè)最關(guān)鍵問題就是性能指標(biāo)中的權(quán)矩陣和的選取[14]。對(duì)這兩個(gè)權(quán)矩陣的選取是一項(xiàng)既重要又困難的工作。 為了使問題簡(jiǎn)單及加權(quán)矩陣的各個(gè)元素具有比較明顯的物理意義，這里將加權(quán)矩陣選為對(duì)角陣，即： ，這樣，性能指標(biāo)：可以寫成：由上式可以看出，是對(duì)狀態(tài)的平均加權(quán)，的相對(duì)增加就表示著對(duì)狀態(tài)的要求相對(duì)較嚴(yán)，在性能指標(biāo)中的比重較大，就使的偏差狀態(tài)相對(duì)減少（在平均意義上說）。由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，而應(yīng)該使得采用線性模型設(shè)計(jì)的控制器能夠克服系統(tǒng)的非線性來適應(yīng)對(duì)應(yīng)的參數(shù)變化，具有一定的魯棒性。 狀態(tài)觀測(cè)器[7]現(xiàn)代控制理論常用的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法包括極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制等，它們都要用到狀態(tài)反饋，要使用全部的狀態(tài)變量。但是在大部分情況下，控制對(duì)象的狀態(tài)變量不能全部直接得到。而狀態(tài)觀測(cè)器是獲得狀態(tài)變量的一種常用的有效方法。狀態(tài)觀測(cè)器可以看成是實(shí)際控制對(duì)象的一個(gè)實(shí)時(shí)的仿真系統(tǒng)，它具有或利用控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型和輸入變量，并采用適當(dāng)?shù)目刂品椒?，以保證狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)可以很快逼近控制對(duì)象的狀態(tài)。狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)是可以直接得到并取出的。于是可以用狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)代替實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)反饋。設(shè)狀態(tài)完全可觀測(cè)的線性定常系統(tǒng)控制對(duì)象為：初步構(gòu)成的仿真系統(tǒng)為：控制對(duì)象和仿真系統(tǒng)狀態(tài)方程的解分別為：如果兩者初始狀態(tài)相同，即，則兩個(gè)方程的解相同，即。但是實(shí)際情況中存在著下述問題：1. 不能完全確定，特別是那些不能直接測(cè)量的狀態(tài)變量。因此不能保證。2. 干擾噪聲對(duì)實(shí)際系統(tǒng)和對(duì)仿真系統(tǒng)的影響不同。3. 數(shù)學(xué)模型(A，B，C)不準(zhǔn)確。因此實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)與上述仿真系統(tǒng)的狀態(tài)之間存在誤差，即。由于，所以輸出之間的誤差反映了兩個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)之間的誤差，可以利用這一點(diǎn)對(duì)進(jìn)行修正。如圖所示，將通過矩陣反饋到仿真系統(tǒng)的輸入端，這就構(gòu)成了較為理想的全維狀態(tài)觀測(cè)器，它的狀態(tài)方程為：