【文章內(nèi)容簡介】 225。ng）：有排隊(duì)顧客數(shù)與排隊(duì)系統(tǒng)中顧客之分，這是排隊(duì)系統(tǒng)提供服務(wù)水平的一種衡量指標(biāo)。 3/5/2023 31 32 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? M/M/1系統(tǒng)（單通道服務(wù)系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊(duì)等待接受服務(wù)的通道只有單獨(dú)的一條，因此也叫做“單通道服務(wù)”系統(tǒng)。 服務(wù) （收費(fèi)站） μ 輸出 輸入 λ M/M/1系統(tǒng) 3/5/2023 32 33 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 主要參數(shù)： ? 設(shè)平均到達(dá)率為 λ，則兩次到達(dá)的平均間隔時(shí)間（時(shí)距）為 1/λ；設(shè)排隊(duì)從單通道接受服務(wù)后出來的系統(tǒng)平均服務(wù)率（輸出率）為 μ， 則平均服務(wù)時(shí)間為 1/μ ； ? 比率： 稱為交通強(qiáng)度或利用系數(shù)，由比率 ρ即可確定各種狀態(tài)的性質(zhì)。 ??? ?3/5/2023 33 34 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 當(dāng)比率 ρ1（即 λμ），且時(shí)間充分，每個(gè)狀態(tài)都會(huì)以非 0的概率反復(fù)出現(xiàn)；當(dāng)比率 ρ≥ 1（即 λ≥ μ），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的，且排隊(duì)會(huì)越來越長。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊(duì)消散的條件是ρ1（即 λμ）。 ? 例如：某高速公路進(jìn)口收費(fèi)站平均每 10s有一輛車到達(dá)，收費(fèi)站發(fā)放通行卡的時(shí)間平均需要 8s，即 : 1/λ=10s； 1/μ =10s 如果時(shí)間充分，這個(gè)收費(fèi)站不會(huì)出現(xiàn)大量阻塞。 8081 101 .// ??? ???3/5/2023 34 35 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 當(dāng)比率 ρ1（即 λμ），系統(tǒng)處以穩(wěn)定狀態(tài)： ? 在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務(wù)，也沒有排隊(duì)）： ? 在系統(tǒng)中有 k個(gè)顧客的概率為（包括接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）： ? 在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為（平均接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）： ??? 10P )( ?? ?? 1kkP （輛）1)1 ????? ??? ??? (n3/5/2023 35 36 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差： 隨著 ρ的增大， n 增大；當(dāng) ρ≥ ， n 迅速增大，從而使排隊(duì)長度快速增加，排隊(duì)系統(tǒng)便的不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務(wù)能力迅速下降。 ? 平均排隊(duì)長度： 這里是指排隊(duì)顧客（車輛）的平均排隊(duì)長度，不包括接受服務(wù)的顧客（車輛）。 )1()1/( 22 ??? ???? （輛）)( 112??????? ????? nnq3/5/2023 36 37 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 平均非零排隊(duì)長度： 即排隊(duì)不計(jì)算沒有顧客的時(shí)間，僅計(jì)算有顧客時(shí)的平均排隊(duì)長度，即非零排隊(duì)。如果把有顧客時(shí)計(jì)算在內(nèi)，就是前述的平均排隊(duì)長度。 ? 排隊(duì)系統(tǒng)中平均消耗時(shí)間： 這里是指排隊(duì)中消耗時(shí)間與接受服務(wù)所用時(shí)間之和。 )( 輛輛或 s/ h/1 ??? nd ??? （輛）)( qqq ww ??? ?113/5/2023 37 38 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 排隊(duì)中的平均等待時(shí)間： 這里在排隊(duì)時(shí)平均需要等待的時(shí)間，不包括接受服務(wù)的時(shí)間，等于排隊(duì)系統(tǒng)平均消耗時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間之差。 共有八個(gè)指標(biāo)。 )()( 輛輛或 s/ h/1 ??? ?? ???? dw3/5/2023 38 39 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） 例 1：高速公路入口收費(fèi)站，車輛到達(dá)是隨機(jī)的，流入量為 400輛 /h，如果收費(fèi)工作人員平均能在 8s內(nèi)發(fā)放通行卡，符合負(fù)指數(shù)分布，求：收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)，平均排隊(duì)長度，排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間和排隊(duì)中的平均等待時(shí)間。 解： λ=400/3600（輛 /s） , μ =1/8 （輛 /s） ρ =λ/μ = 1 ，排隊(duì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 ? 收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)： )(.. 輛88901 8901 ????? ??n3/5/2023 39 40 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 平均排隊(duì)長度： ? 排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間： ? 排隊(duì)中的平均等待時(shí)間： （輛） ?????? ?nq)( 輛s/ 7236004008111???????d)( 輛s/ 648721 ????? ?dw3/5/2023 40 41 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） 例 2：修建一個(gè)服務(wù)能力為 120輛 /h的停車場，布置一條進(jìn)入停車場的引道，經(jīng)調(diào)查車輛到達(dá)率為 72輛 /h，進(jìn)入停車場的引道長度能夠容納 5輛車，是否合適 。 解： λ=72（輛 /h） , μ =120 （輛 /h） ρ =λ/μ = 1 ，排隊(duì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 ? 進(jìn)入停車場的引道長度能夠容納 5輛車 ,如果系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)小于 5輛車則是合適的，否則，準(zhǔn)備停放的車輛必然影響交通。 合適輛輛 )()(.. 601 ?????? ??n3/5/2023 41 42 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 驗(yàn)證系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過 5輛車的概率 P(＞ 5)，如果 P(＞ 5)很小，則得到 “合適”的結(jié)論正確。由： 驗(yàn)證結(jié)果表明：系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過 5輛車的概率 P(＞ 5)不足 5%，概率很小，進(jìn)入停車場的引道長度是合適的。 671 18 40 0011555432100??????????????? ）（）（得：和PPPPPPPPPPkk)( ???3/5/2023 42 43 四、 M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)簡介 （多通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 一般收費(fèi)站屬于多路排隊(duì)多通道服務(wù)的 M/M/N系統(tǒng)，如果總流入量為 Q，可以假設(shè)每個(gè)收費(fèi)站的流入量為 Q/N，就可以按照 M/M/1系統(tǒng)計(jì)算。 服務(wù) 收費(fèi)站 1 μ 輸出 輸入 λ M/M/1系統(tǒng) 服務(wù) 收費(fèi)站 N μ 輸出 輸入 λ M/M/1系統(tǒng) N 3/5/2023 43 44 四、 M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)簡介 （多通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 單路排隊(duì)多通道服務(wù)的 M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)如下：從服務(wù)效率分析這種排隊(duì)系統(tǒng)的效率較高，但用于收費(fèi)站顯然是不合適的（這一系統(tǒng)同樣有一整套計(jì)算公式） 。 輸入 λ 服務(wù) 1 μ 輸出 服務(wù) N μ 輸出 N 3/5/2023 44 45 第四節(jié) 跟馳理論簡介 3/5/2023 45 46 一、引言 ? 跟馳理論是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法，研究在無法超車的單一車道上車輛列隊(duì)行駛時(shí)，后車跟隨前車的行駛狀態(tài)，并且借數(shù)學(xué)模式表達(dá)并加以分析闡明的一種理論。