【文章內(nèi)容簡介】 i）求 12, , , p? ? ?的估計 11 1 1 12 1 2 212? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??q q q p qq q q p qq p q p q q pp? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 11? ?t t t p t pY X X X????? ? ? ?tYii）令 ，則 的自協(xié)方差函數(shù)的矩估計為 ()000? ? ? ? ?, 1ppYk i j k j iij? ? ? ? ?????? ? ???tY qiii）把 近似看作 MA（ ）序列，利用（ 2） 對 MA（ q）序列的參數(shù)估計方法即可 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 模型檢驗 對于給定的樣本數(shù)據(jù) 1 , NXXAIC準則確定了模型的類型和階數(shù)，用矩估計法確定了模型中的參數(shù)，從而建立了一個 ARMA模型，來擬合真正的隨機序列。但這種擬合的優(yōu)劣程度如何，主要應(yīng)通過實際應(yīng)用效果來檢驗，也可通過數(shù)學(xué)方法來檢驗。 ，我們通過相關(guān)分析法和 下面介紹模型擬合的殘量自相關(guān)檢驗，即白噪聲檢驗： pq k? kk? 對于 ARMA模型，應(yīng)逐步由 ARMA（ 1， 1）， ARMA（ 2，1）， ARMA（ 1， 2）， ARMA（ 2， 2）， … 依次求出參數(shù)估計，對 AR（ ）和 MA（ ）模型，先由 和 初步定階，再求參數(shù)估計。 的截尾性 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 一般地，對 ARMA ( , )pq模型 11??pqt t i t i j t jiju X X u??????? ? ???0 1 1, , , qu u u??0 1 1, , , pX X X??12? ? ?, , , Nu u u取初值 和 它們均值為 0），可遞推得到殘量估計 現(xiàn)作假設(shè)檢驗： （可取它們等于 0，因為 0 :H 12? ? ?, , , Nu u u是來自白噪聲的樣本 ()11? ? ?Njuj t j ttuuN????? ?0 , 1 , ,jk?()()()0???ujuj u????1, ,?令 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 k10N其中 取 左右。 0H kQk 2?則當(dāng) 成立時， 服從自由度為 的 分布。 ?2 ()kkQ ???0H 2 ()kkQ ???對給定的顯著性水平 ，若 ，則拒絕 ，即模型與原隨機序列之間擬合得不好， ，則認為模型與原隨機序列 之間擬合 需重新考慮 得較好，模型檢驗被通過。 建模；若 ? ? ? ?22( ) ( )11? ?kkuuk j jjjQ N N???????? 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 四、模型的預(yù)測 若模型經(jīng)檢驗是合適的，也符合實際意義，可用作短期預(yù)測 . BJ方法采用 L步預(yù)測，即根據(jù)已知 n個時刻的序列觀測值 12, , , nX X X，對未來的 nL?個時刻的序列值做出估計， 線性最小方差預(yù)測是常用的一種方法 . 誤差的方差達到最小 . 其主要思想是使預(yù)測 若 ? ()nZL表示用模型做的 L步平穩(wěn)線性 最小方差預(yù)測，那么，預(yù)測誤差 ?( ) ( )n n L ne L X Z L???并使 22 ?[ ( ) ] [ ( ) ]n n L nE e L E X Z L???達到最小 . 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 AR（ p）序列預(yù)測 模型（ 1）： 1 1 2 2t t t p t p tX X X X u? ? ?? ? ?? ? ? ? ?的 L步預(yù)測值為 12? ? ? ?( ) ( 1 ) ( 2) ( )n n n p nZ L Z L Z L Z L p? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ()n n jZ j X ???0j ?其中 （ ） 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 MA（ q）的預(yù)測 對模型（ 3）： 1 1 2 2t t t t q t qX u u u u? ? ?? ? ?? ? ? ? ?Lq? 1 1 2 2n L n L n L n L q n L qX u u u u? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?n? ( ) 0nZL ?當(dāng) 時，由于 可見所有白噪聲的時刻都大于 ，故與歷史取值無關(guān)， ； 從而 當(dāng) Lq?時，各步預(yù)測值可寫成矩陣形式： 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 11 12211111 0 0? ?( 1 ) ( 1 )0 1 0? ?( 2) ( 2)0 0 1? ?( ) ( )0 0 0nnnqqnnqZZXZ q Z q??????????????? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ???? ? ? ???遞推時，初值 0 0 0? ? ?( 1 ) , ( 2) , , ( )Z Z Z L均取為 0。 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預(yù)測 【 CUMCM 2023A】 題中給出了“ 1995— 2023年長江流域水質(zhì)報告”中的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)和關(guān)于《地表水環(huán)境質(zhì)量標準》的國標（ GB38382023）中 4個主要項目標準限值（見 附錄 1），其中 I、 II、 III類為可飲用水 .假如不采取更為有效的治理措施，根據(jù)過去 10年的主要統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見 附錄 2），對長江未來水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預(yù)測分析，比如研究未來 10年的情況 . 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預(yù)測 【 CUMCM 2023A】 一、問題分析 為了分析長江水質(zhì)的發(fā)展變化情況，對未來 10年全流域、支流、干流中三類水所占的比例做出預(yù)測 .考慮到若僅用 10年水文年的觀測數(shù)據(jù)來預(yù)測后 10年的數(shù)據(jù)，顯然可利用的數(shù)據(jù)量太少，所以我們將充分利用枯水期、豐水期和水文年的數(shù)據(jù) . 由于建立時間序列模型需要相等的時間間隔，所以我們將一年分為三段， 14月、 58月、 912月 . 對于每一年， 14月的平均數(shù)據(jù)可直接取為枯水期的數(shù)據(jù)，58月的平均數(shù)據(jù)可直接取為豐水期的數(shù)據(jù)，而 912月的數(shù)據(jù)可用【（水文年 *12枯水期 *4豐水期 *4） /4=水文年 *3枯水期 豐水期】來估計（具體數(shù)據(jù)見 附錄 3） .我們分別對全流域、干流、支流來建立時間序列模型，并將水質(zhì)分為飲用水（ I、 II、 III類）、污水（ IV、 V類）和劣 V類水三類，注意到飲用水的比例可由其它兩類水的比例推算出來 . 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預(yù)測 【 CUMCM 2023A】 二、模型假設(shè) （ 2）假設(shè)枯水期、豐水期和水文年中，每個月各類水質(zhì)的 百分比不變 . （ 1）問題中所給出的數(shù)據(jù)能客觀反映現(xiàn)實情況； 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預(yù)測 【 CUMCM 2023A】 三、模型建立 對于各類水，根據(jù)它在各個時期所占的比例，通過作圖容易觀察發(fā)現(xiàn)，時間序列是非平穩(wěn)的，而通過適當(dāng)差分則會顯示出平穩(wěn)序列的性質(zhì)，所以我們將建立自回歸移動平均模型ARIMA（ ,p d q）