【正文】 結(jié)果中，我們得到的數(shù)據(jù)為枯水期、豐水期和 812月的平均值，并不包含水文年的數(shù)據(jù)，故還需要還原水文年的數(shù)據(jù)，可以通過公式： 水文年 =（枯水期 +豐水期 +812月平均值） /3 對于三類水所占的比例滿足： 飲用水 +污水 +劣 V類水 =100%. 具體預測結(jié)果見 附錄 4。從而 ARIMA（ 3， 1， 0）模型對該序列建模成功。 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預測 【 CUMCM 2023A】 數(shù)據(jù)篩選與處理 根據(jù)需要，我們將數(shù)據(jù)篩選并處理得到干流中劣 Ⅴ 類水所占 比例的時間序列： tX 1 , 2 , , 30t ?={0， 4， 4， 0， ， ， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， ， ， ， ， ， ， 0， 0， 0， ， ， }， 對序列平穩(wěn)化 觀察序列時序圖，發(fā)現(xiàn)序列有遞增趨勢， 因此，我們對序 1t t tX X X ?? ? ?，得到序列 列進行一階差分 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預測 【 CUMCM 2023A】 ttYX? ? ?{0， 4， 8， 4， ， 3， ， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， ， ， ， ， ， ， ， 0， 0， ， ， } 5051015201 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29系列1劣 Ⅴ 類水所占比例時序圖 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預測 【 CUMCM 2023A】 3013021( ) ( )()kt t ktkttY Y Y YYY???????????k?利用公式 計算此序列的自相關(guān)系數(shù) 可看出， ||k?明顯異于 0，說明此序列短期內(nèi)具有很強的相關(guān)性 因此可初步認為經(jīng) 1階差分后的序列平穩(wěn)，即 1d ?1階差分后的白噪聲檢驗結(jié)果如下： 2?延遲階數(shù) 統(tǒng)計量 P值 6 在檢驗的顯著性水平取為 ， P值大于 ，故該差分后序列可視為白噪聲序列 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預測 【 CUMCM 2023A】 對序列 tY進行零均值化 對序列 t進行零均值化，得到新序列 tZ={， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， } 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預測 【 CUMCM 2023A】 對序列 tZ求樣本自協(xié)方差函數(shù)與樣本偏自相關(guān)函數(shù) 3011?30kk t t ktZZ? ? ??? ?0 , 1 , 2 , , 29k ?利用 （ ）得樣本自協(xié)方差函數(shù)估計 0???kk????利用 ，（ ）計算樣本自相關(guān)函數(shù) 0 , 1 , 2 , , 29k ?通過 11101111 , 1011 , 1 , 1 , 1?? ?? ? ??? ? ?? ? ? ?kk k j k jjkk kk j jjk j k j k k k k j???? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ???????????? ??????????估計樣本偏自相關(guān)函數(shù)，得到 2 長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢預測 【 CUMCM 2023A】 3k ??kk?當 時， 具有截尾性 用 AR（ 3）模型擬合序列 tZ模型擬合原序列。 建模；若 ? ? ? ?22( ) ( )11? ?kkuuk j jjjQ N N???????? 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 四、模型的預測 若模型經(jīng)檢驗是合適的，也符合實際意義，可用作短期預測 . BJ方法采用 L步預測，即根據(jù)已知 n個時刻的序列觀測值 12, , , nX X X，對未來的 nL?個時刻的序列值做出估計， 線性最小方差預測是常用的一種方法 . 誤差的方差達到最小 . 其主要思想是使預測 若 ? ()nZL表示用模型做的 L步平穩(wěn)線性 最小方差預測，那么，預測誤差 ?( ) ( )n n L ne L X Z L???并使 22 ?[ ( ) ] [ ( ) ]n n L nE e L E X Z L???達到最小 . 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 AR（ p）序列預測 模型（ 1）： 1 1 2 2t t t p t p tX X X X u? ? ?? ? ?? ? ? ? ?的 L步預測值為 12? ? ? ?( ) ( 1 ) ( 2) ( )n n n p nZ L Z L Z L Z L p? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ()n n jZ j X ???0j ?其中 （ ） 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 MA（ q）的預測 對模型（ 3）： 1 1 2 2t t t t q t qX u u u u? ? ?? ? ?? ? ? ? ?Lq? 1 1 2 2n L n L n L n L q n L qX u u u u? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?n? ( ) 0nZL ?當 時，由于 可見所有白噪聲的時刻都大于 ，故與歷史取值無關(guān)， ； 從而 當 Lq?時，各步預測值可寫成矩陣形式： 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 11 12211111 0 0? ?( 1 ) ( 1 )0 1 0? ?( 2) ( 2)0 0 1? ?( ) ( )0 0 0nnnqqnnqZZXZ q Z q??????????????? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ???? ? ? ???遞推時，初值 0 0 0? ? ?( 1 ) , ( 2) , , ( )Z Z Z L均取為 0。 0H kQk 2?則當 成立時， 服從自由度為 的 分布。 ，我們通過相關(guān)分析法和 下面介紹模型擬合的殘量自相關(guān)檢驗，即白噪聲檢驗： pq k? kk? 對于 ARMA模型，應(yīng)逐步由 ARMA（ 1， 1）， ARMA（ 2，1）， ARMA（ 1， 2）， ARMA（ 2， 2）， … 依次求出參數(shù)估計，對 AR（ ）和 MA（ ）模型，先由 和 初步定階，再求參數(shù)估計。 AR（ p）模型 ： 2 2?ln pAI CN???ARMA ( , )pq模型 ： 2 2( )?ln pqAI CN???? 1 時間序列分析模型【 ARMA模型 】簡介 參數(shù)估計 在階數(shù)給定的情形下模型參數(shù)的估計有三種基本方法：矩估計法、逆函數(shù)估計法和最小二乘估計法，這里僅介紹矩估計法 （ 1） AR（ p）模型 11 1 1 12 1 2 212? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ?? 1ppp p pp? ? ? ?? ? ? ?? ? ????????? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?