【文章內容簡介】 如下，168。 時間序列中的元素稱為觀測值。 {xt}既表示隨機過程，也表示時間序列。 xt既表示隨機過程的元素隨即變量，也表示時間序列的元素觀測值。在不致引起混淆的情況下，為方便， xt 也直接表示隨機過程和時間序列。168。 隨機過程與時間序列的關系如下所示：168。 某河流一年的水位值， {x1, x2, …, xT1, xT,}，可以看作一個隨機過程。每一年的水位紀錄則是一個時間序列， {x11, x21, …, xT11, xT1}。而在每年中同一時刻（如 t = 2時）的水位紀錄是不相同的。 { x21, x22, …, x2n,} 構成了 x2取值的樣本空間。168。 例如，要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個隨機變量，于是得到一個日電力消耗量關于天數(shù) t的函數(shù)。而這些以年為單位的函數(shù)族構成了一個隨機過程 {xt}, t = 1, 2, … 365 。因為時間以天為單位，是離散的，所以這個隨機過程是離散型隨機過程。而一年的日電力消耗量的實際觀測值序列就是一個時間序列。168。自然科學領域中的許多時間序列常常是平穩(wěn)的。如工業(yè)生產(chǎn)中對液面、壓力、溫度的控制過程，某地的氣溫變化過程，某地100年的水文資料，單位時間內路口通過的車輛數(shù)過程等。但經(jīng)濟領域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟時間序列卻都是非平穩(wěn)的。如一個國家的年 GDP序列，年投資序列，年進出口序列等。168。為便于計算，先給出差分定義。168。差分：時間序列變量的本期值與其滯后值相減的運算叫差分。差分分為一階差分和高階差分。168。首先給出差分符號。對于時間序列 x t ，一階差分可表示為168。下面介紹兩種基本的隨機過程168。白噪聲（ white noise）過程168。白噪聲過程：對于隨機過程 { xt , t?T }, 如果 E(xt) = 0, Var (xt) = ? 2 ? ? , t?T。 Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) ? T , k ? 0 , 則稱 {xt}為白噪聲過程。168。白噪聲是平穩(wěn)的隨機過程，因其均值為零，方差不變，隨機變量之間非相關。顯然上述白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機過程。如果{xt} 同時還服從正態(tài)分布，則它就是一個強平穩(wěn)的隨機過程。168。白噪聲源于物理學與電學，原指音頻和電信號在一定頻帶中的一種強度不變的干擾聲。 168。 2. 隨機游走（ random walk）過程168。 對于下面的表達式168。 xt = xt 1 + ut ( )168。 如果 ut 為白噪聲過程，則稱 xt 為隨機游走過程。168?！半S機游走 ”一詞首次出現(xiàn)于 1905年自然（Nature）雜志第 72卷 Pearson Rayleigh 。該信件的題目是 “隨機游走問題 ”。文中討論尋找一個被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點開始搜索。168。人們?yōu)榱烁鶕?jù)時間序列揭示所研究現(xiàn)象的動態(tài)規(guī)律性，產(chǎn)生了一系列分析研究時間序列的方法。168。最樸素的動態(tài)思想認為現(xiàn)象的未來行為與現(xiàn)在的行為有關，于是，人們便用現(xiàn)象的現(xiàn)在值作為其下一時刻的預測值。這種方法對于平穩(wěn)發(fā)展變化的現(xiàn)象來說，是可行的。一、時間序列數(shù)據(jù)的采集168。對于所研究系統(tǒng)來說，相應于時間的連續(xù)性，系統(tǒng)在不同時刻上的響應常常是時間 t的連續(xù)函數(shù)。為了數(shù)字計算處理上的方便，往往只按照一定的時間間隔對所研究系統(tǒng)的響應進行記錄和觀察，我們稱之為采樣。相應地把記錄和觀察的時間間隔稱為采樣間隔，并用 Δ表示。168。例如，對某市場某種水果的價格每隔一天進行一次記錄，則采樣間隔為一天 (Δ＝ 1天或 24小時 )，每個觀察值也稱為采樣值，第 k個采樣值為 Xk，也就是連續(xù)函數(shù) X(t)的值 X(t0十 kΔ)。如圖 4所示。注意：168。在對時間序列 X(t)的采樣過程中，取不同的采樣間隔 Δ可以得到不同的數(shù)字時間序列 Xt， t＝ 1， 2…… 。采樣間隔既可以相等，也可以不等。我們這里只討論等間隔采樣，因此，在本書中將 “采樣間隔相等 ”作為建立時間序列的一條重要原則。 采樣間隔處理？168。 如前所述，時間序列包含了系統(tǒng)的全部信息，因而人們可以藉以研究系統(tǒng)的動態(tài)結構和運行規(guī)律。但是，采樣得到的離散時間序列 Xt失去了 X(t)在 t0+(i1)Δ和t0+iΔ之間的值，即這個區(qū)間內系統(tǒng)的信息在采樣之后丟失了。顯然，在合理的范圍內，采樣間隔 Δ越小，采樣值就越多，信息損失就越小，數(shù)據(jù)處理量越大，處理時間、人力、財力消耗越大。相反，采樣間隔越大，采樣值越少，處理時間、人力、財力消耗越小，但信息損失越大。因此，選擇合適的采樣間隔是建立時間序列的關鍵，理想的采樣間隔就是既沒有損失信息，也沒有出現(xiàn)信息冗余。在實際中，研究者只能根據(jù)所研究系統(tǒng)的具體特性和經(jīng)驗，在不過分減少信息損失和不過分增加數(shù)據(jù)量之間作出合理選擇。二、離群點的檢驗與處理168。離群點 (Outlier)是指一個時間序列中，遠離序列一般水平的極端大值和極端小值。因此，也稱之為奇異值，有時也稱其為野值。如圖 5所描述的是 1949年到 1997年間，我國的人口自然增長率 (Xt)。從圖形中可以直觀地看出， 1960年的人口自然增長率大大低于其它年份的自然增長率。從序列來看， X12(即 1960年的觀察值)遠離了序列 Xt，我們稱 X12為離群點。 168。 概括地說，是由于系統(tǒng)受外部干擾而造成的。但是，形成離群點的系統(tǒng)外部干擾是多種多樣的。168。 首先可能是采樣中的誤差，如記錄儀出現(xiàn)偏誤、工作人員出現(xiàn)筆誤、計算差錯等，都有可能產(chǎn)生極端大值或極端小值。168。 其次可能是被研究現(xiàn)象本身由于受各種偶然非正常的因素影響而引起的，例如，在人口死亡序列中，由于某年發(fā)生了地震，使得該年的死亡人數(shù)急劇增加，形成了離群點；在股票價格序列中，由于受某項政策出臺或某種謠傳的刺激，都會出現(xiàn)極增、極減現(xiàn)象，表現(xiàn)為序列中的離群點。 168。 不論是何種原因引起的離群點，對以后的時間序列分析都會造成一定的影響。從造成分析中的困難來看，統(tǒng)計分析人員是不希望序列中出現(xiàn)離群點的，離群點會直接影響模型的擬合精度，甚至會得到一些虛假的信息。例如，兩個相距很近的離群點將在譜分析中產(chǎn)生許多虛假的頻率。168。 因此，離群點往往被分析人員看作是一個 “壞值 ”。但是，從獲得信息來看，離群點提供了很重要的信息，它不僅提示我們認真檢查采樣中是否有差錯，在進行時間序列分析前，認真確認序列，而且，當確認離群點是由于系統(tǒng)受外部突發(fā)因素刺激而引起的時候，它會提供關于系統(tǒng)穩(wěn)