【文章內(nèi)容簡介】 ? ? L ) = 0 的根必須在單位圓之外。（因?yàn)?xt = ? ? L ) ut是平穩(wěn)的，如果變換成 ? ? L ) 1 xt = ut 后變得不平穩(wěn)，顯然失去可逆性。） 12. 2 時間序列模型的分類 2. 移動平均過程 注意 ： 對于無限階的移動平均過程 x t =??? 0(i? i u t i? = u t (1 + ? 1 L + ? 2 L2+ … ) 其方差為 V ar( x t ) =??? 0(i? i2 V a r ( u t i ) ) = ? u2??? 02ii?。 很明顯 ， 雖然有限階移動平均過程都是平穩(wěn)的，但 對于無限階移動平均過程還須另加約束條件才能保證其平穩(wěn)性。 這條件就是 { x t } 的方差必須為有限值，即 ??? 02ii?? ? 。 注意 ： ( 1) 對于 AR( p ) 過程，不必考慮可逆性問題，只需考慮平穩(wěn)性問題。條件是 ? ? L ) = 0 的根（絕對值）必須大于 1 。 (2 ) 對于 MA ( q ) 過程，不必考慮平穩(wěn)性問題，只需考慮可逆性問題。條件是 ? ? L ) = 0 的根（絕對值）必須大于 1 。 自回歸模型與移動平均模型的關(guān)系 ? 以上的分析說明，一個平穩(wěn)的 AR(p)模型可以轉(zhuǎn)換為一個無限階的移動平均模型；一個可逆的 MA(q)模型可轉(zhuǎn)換成一個無限階的自回歸模型。 ? AR(p)模型，只需考慮平穩(wěn)性問題，不必考慮可逆性問題。 ? MA(q)模型，只需考慮可逆性問題，不必考慮平穩(wěn)性問題。 32 1 2 . 2 時間序列模型的分類 3. 自回歸移動平均過程 由自回歸和移動平均兩部分共同構(gòu)造的隨機(jī)過程稱為自回歸移動平均過程，記為 A R M A ( p , q ) ，其中 p , q 分別表示自回歸和移動平均分量的 最大滯后 階數(shù)。 A R MA ( p , q ) 的一般表達(dá)式是 xt= ? 1 xt 1+ ? 2 xt 2+ …+ ? p xt p+ ut + ? 1 ut 1 + ? 2 ut 2+ ... + ? q ut q 或 ( 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp ) xt = (1 + ? 1 L + ? 2 L2 +… + ? q Lq ) ut ? ( L ) xt = ? ( L ) ut 其中 ? ( L ) 和 ? ( L ) 分別表示 關(guān)于 L 的 p , q 階 特征 多項(xiàng)式，分別稱為自回歸算子和移動平均算子。 A R M A ( p , q ) 過程的 平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分 ，即 ? ( L ) = 0的 全部根取值在單位圓之外（絕對值大于 1 ）。其 可逆性則只依賴于移動平均部分 ，即 ? ( L ) = 0 的根取值應(yīng)在單位圓之外。 1 2 . 2 時間序列模型的分類 3. 自回歸移動平均過程 A R M A ( 1, 1) 過程 ： xt ?1 x t 1 = ut + ?1 ut 1 或 ( 1 ?1 L ) xt = ( 1 + ? 1 L ) ut 只有當(dāng) 1 ?1 1 和 1 ? 1 1 時，上述模型才是平穩(wěn)的，可逆的。 642024650 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0A R M A ( 1 , 1 ) 0 .0 3 0 .0 2 0 .0 11880 1900 1920 1940 1960 1980DY 實(shí)際中對于非季節(jié)時間序列， A R M A ( p , q ) 過程的最高階數(shù)一般各不會超 過 2 。 日本人口差分序列 1 2 . 2 時間 序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 差分 ： 用變量 xt的當(dāng)期值減 去 其滯后值從而得到新序列的計(jì)算方法稱為差分。 若 當(dāng) 期 減 滯后一期變量則稱為 1 階差分 ，若 當(dāng) 期 減 滯后 k 期變量則稱為 k 階差分 。 對于隨機(jī)過程 xt，一階差分可表示為 xt xt 1 = D xt = ( 1 L ) xt = xt L xt 其中 D 稱為一階差分算子 。 L 是滯后算子。 k 階差分表示為 Dk xt = xt xt k = (1 Lk ) xt = xt Lkxt xt的 2 次 1 階差分表示為 D? xt = D ( D xt ) = D xt D xt 1 = ( xt xt 1) ( xt 1 xt 2) = xt 2 xt 1+ xt 2 D? xt = ( 1 L )2 xt = ( 1 2 L + L2) xt = xt 2 xt 1 + xt 2 以上兩式運(yùn)算結(jié)果相同，說明 差分算子和滯后算子可以直接參與運(yùn)算 。 注意 ： （ 1 ） 對于 差分 算子 Dkd， 其 上 標(biāo) 表示 差分 次 數(shù)， 其 下 標(biāo) 表示 差 分階 數(shù)。 （ 2 ） 對于 滯后算子 Lk， 其 上 標(biāo) 表示 滯后 階 數(shù)。 1 2 . 2 時間序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 若特征 根恰好在單位圓上 ， 這種根稱為單 位根 。 該過程也是非平穩(wěn)的， 但該過程的特點(diǎn)是經(jīng)過相應(yīng)次差分之后可以轉(zhuǎn)化為一個平穩(wěn)過程。 雖然自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時間序列都是平穩(wěn)的，但經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟(jì)時間序列卻都是非平穩(wěn)的，即其均值與方差是隨時間的變化而變化的。 伯克斯 — 詹金斯 （ B ox Je n k i ns ） 積數(shù)十年理論與實(shí)踐的研究指出，時間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的，然而幸運(yùn)的是經(jīng)濟(jì)時間序列常常具有這種特殊的齊次非平穩(wěn)特性。對于一個 非季節(jié)性經(jīng)濟(jì)時間序列常?？梢杂煤幸粋€或多個單位根的隨機(jī)過程模型描述。 1 2 . 2 時間序列模型的分類 4. 單 積（ 整 ） 自回歸移動平均過程 若 一個隨機(jī)過程 yt含有 d 個單位根，則其經(jīng)過 d 次差分之后 可以變換成為一個平穩(wěn)的自回歸移動平均過程?？紤]如下模型， ? ( L ) Ddyt = ? ( L ) ut ( 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp ) ( 1 L ) d yt = (1 + ? 1 L + ? 2 L2 +… + ? q Lq ) ut 其中 Ddyt表示 yt經(jīng)過 d 次差分變?yōu)槠椒€(wěn)過程 ； ? ( L ) 是平穩(wěn) 過程 的自回歸算子 ； ? ( L ) 是 平穩(wěn)過程 的移動平均算子，則稱 yt 為 ( p , d , q ) 階單 積（ 單 整 ） 自回歸移動平均過程，記為 A R IM A ( p , d , q ) 。 這種取名的目的是與后面的稱謂相一致。 A R IM A 過程也稱為 綜合 （求和、積分） 自回歸移動平均過程 。其中 ? ( L ) Dd 稱為 廣義自回歸算子 。 1 050510152050 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0r a n d o m w a l k下面介紹一種典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過 程， 隨機(jī)游走過程 。對于表達(dá)式 x t = x t 1 + u t 如果 u t 是白噪聲過程，則稱 x t 為 隨機(jī)游走過程 。隨機(jī)游走過程的方差為無限大。 x t = x t 1 + u t = u t + u t 1 + x t 2 = u t + u t 1 + u t 2 + … E ( x t ) = 0 ， V ar( x t ) = V ar( u t + u t 1 + u t 2 + … ) = ???tu2?? ? 這使得它的均值變得毫無意義。隨機(jī)游走過程是 p = q = 0 ， d = 1 條件下的A R IM A ( p , d , q ) 過程。因?yàn)? ? 1 = 1 ，隨機(jī)游走過程的特征方程中含有單位根，所以隨機(jī)游走過程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。 隨機(jī)游走過程的一階差分為白噪聲過程。 1 2 . 3 W o l d 分解定理 W ol d 分解定理：任何 2 階平穩(wěn)過程 xt，都可以被表示為 xt ? dt = ut + ?1 ut 1+ ?2 ut 2 + … + = ????0jjtju? 其中 ? 是 xt的期望。 dt 是 xt的線性確定性成分，如周期性成分、時間 t的多項(xiàng)式和指數(shù)形式等。 ?0 = 1 ，??? 02j j? ∞ 。 ut為白噪聲過程。 xt可以直接用其滯后值預(yù)測， ut表示用 xt的滯后項(xiàng)預(yù)測 xt時的誤差，即 ut = xt E ( xt ? xt 1, xt 2 , … ) ??? ?0j jtju?稱為 xt的線性非確定性成分。當(dāng) dt = 0 時，稱 xt為純 線性非確定性過程。 W ol d 分解定理只要求過程 2 階平穩(wěn)即可。 1 2 . 3 W o l d 分解定理 從原理上講，要得到過程的 W ol d 分解，就必須知道無限個 ?j參數(shù)，這對于一個有限樣本來說是不可能的。實(shí)際中可以對 ?j做另一種假定，即可以把 ? ( L ) 看作是 兩 個有限特征多項(xiàng)式的商， ? ( L ) =??? 0jjjL?=)()(LL??=ppqqLLLLLL??????????????. . .1. . .1221221 注意，無論 原序列中含有何種確定性成分，在前面介紹的模型種類和后面介紹的 自相關(guān)函數(shù)、 偏 自相關(guān)函數(shù) 中都假設(shè)在原序列中已經(jīng)剔除了所有確定性成分，是一個純的隨機(jī)過程（過程中不含有任何確定性成分）。如果一個序列如下式， xt = ? + dt + ut + ?1 ut 1+ ?2 ut 2 + … + 則 所有研究都是在 ( xt ? dt) 的基礎(chǔ)上進(jìn)行 。 前面給出的各類模型中都不含有均值項(xiàng)、時間趨勢項(xiàng)就是這個道理。 （第 3版第 293頁） 1 2 . 3 W o l d 分解定理 下面以漂移項(xiàng) （ d r i f t ） 非零的平穩(wěn)過程 討論 漂移項(xiàng)與均值的關(guān)系 。設(shè)有非零漂移項(xiàng)平穩(wěn) A R M A ( 2,1) 過程如下， xt = + xt 1 + xt 2 + ut + ut 1 xt xt 1 xt 2 = 5 + ut + 0. 3 ut 1 漂移項(xiàng)等于 5 。 對上 式 取 期望 , E( xt) E ( xt 1) E ( xt 2) = ( 1 0. 4) E ( xt) = 0 .05 E( xt) = ? =???= 其中 ( 1