數(shù)學與人的發(fā)展(二)(編輯修改稿)
2025-01-19 16:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 nnn?6)12)(1(321 2222 ??????? nnnn?二、數(shù)學直覺的作用 ， ， ，這似乎還看不出什么來。我們還作些觀察，并列出一個表來看，為了方便，我們使用兩個記號： ， 521 22 ?? 14321 222 ??? 304321 2222 ???? nSn ????? ?3211 22222 321 nS n ????? ?二、數(shù)學直覺的作用 我們看到了第 8項，似已 (由不完全歸納 )看出 ， 這樣，似可得到 31212 ?? nSSnn6)12)(1(31212?????? nnnSnnn二、數(shù)學直覺的作用 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 6 10 15 21 28 36 1 5 14 30 55 91 140 204 1 nnSn2nnSS2353739311313315317 數(shù)學歸納法其所以是必要的，是因為它的邏輯嚴謹，是進一步的可靠性保證，它的證明所包含的兩個步驟是必不可少的，還要強調(diào)的是：少了一步都有危險。 完全歸納與不完全歸納相互聯(lián)系，相互依賴，各有優(yōu)點又各有缺陷。不完全歸納的優(yōu)點是發(fā)現(xiàn)，開拓，思維形式多樣、活潑。缺陷則在它的嚴謹性、可靠性上尚有疑問。兩者皆可貴，兩者聯(lián)合起來更珍貴。 二、數(shù)學直覺的作用 類比是不能登上論證推理的大雅之堂的，可是，類比是非常重要的發(fā)現(xiàn)式思維，非常重要的創(chuàng)造性思維。它和不完全歸納一樣，雖不屬于論證推理，但它們都屬于似真推理，它們不最后確證真理，卻是逼近真理的必要途徑之一。 (不完全 )歸納由個別 (或特殊 )去發(fā)現(xiàn)一般 (或普遍 )，類比則是由此去發(fā)現(xiàn)彼或由彼去發(fā)現(xiàn)此。歸納是發(fā)現(xiàn)同類事物之間的聯(lián)系，類比是發(fā)現(xiàn)不同類別之間的聯(lián)系。歸納和類比都是想象的具體形式。 二、數(shù)學直覺的作用 是一個發(fā)散級數(shù) (其和不存在，或為無窮大 )， 但是的情況則不同。又恰是上面那個發(fā)散級數(shù)給人以啟示，人們得到結(jié)論：當 時 發(fā)散，而 當時 它是收斂的。特別，當 時，即級數(shù) 是收斂的。 ?? ????? n131211 ?? ?????xxx n1312111?x???1nxn1?x 2?x ?? ?????222131211n二、數(shù)學直覺的作用 歐拉不愧為偉大的數(shù)學大師 ， 當然也可稱他是一位善于歸納 、 類比的大師 ， 他還是一位善于創(chuàng)造性地運用符號的大師 (使用最經(jīng)濟有效的符號表達 )。 就在前一個求和的基礎上 ， 他還探討了以下級數(shù)的和： 這個和是 。 而且他還猜測 ( 是某 個正整數(shù) )。 ?? ????? 444 131211 n904?pnmnm2121 ?????p二、數(shù)學直覺的作用 雖然我們可以把直覺明確敘說為直接的覺察，但似乎也不能給人以明晰的感覺：直覺究竟是什么？然而，我們可在進一步的具體討論中去把握。 直覺是指對事物直接的覺察、領悟甚至是印象?！斑@個人看來不是個好人?！睘槭裁?？“憑我的直覺?！闭f不出很明確的理由來。日常生活中的這種直覺多的是。 數(shù)學直覺則是指對數(shù)學對象或問題 (性質(zhì)、關系或結(jié)構 )的直接領悟或覺察。 二、數(shù)學直覺的作用 1617年
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