【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 小數(shù)， 所以 e 是無(wú)理數(shù)。 將下列推理恢復(fù)成完全的三段論 （ 1）因?yàn)槿切?ABC 三邊長(zhǎng)依次為 5， 12， 13,所以三角形 ABC 為直角三角形； （ 2）函數(shù) 12 ??? xxy 的圖象是一條拋物線 指出下面三段論的大前提、小前提和結(jié)論 （ 1）凡同邊數(shù)的正多邊形都是相似的 （ 2）兩個(gè)正多邊形的邊數(shù)相同 （ 3）所以這兩個(gè)正多邊形也是相似的 用三段論證明通項(xiàng)公式為 dnaa n )1(1 ??? （ da, 為常數(shù)）的數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 直接證明與間接證明 (1) 直接證明 【要點(diǎn)梳理】 直接從原命題的條件逐步推得命題成立的，這種證明通常稱為 ，它的一般形式為 從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的 為止，這種證明方法稱為 從問(wèn)題的 出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到 為止，這種證明方法稱為 綜合法和分析法的推證過(guò)程是 綜合法 分析法 【指點(diǎn)迷津】 分析法和綜合法各有怎樣的優(yōu)缺點(diǎn)？ 綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，分析法解題方法較為明確，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不偏于思考，實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用綜合法有條理地表述解題過(guò)程。 綜合法和分析法的思維 特點(diǎn)？ 分析法是從命題的結(jié)論出發(fā)，分析使結(jié)論成立的充分條件，若能夠肯定這些條件都已具備，就可以判定結(jié)論是正確的。 分析法的特點(diǎn)：有些題目用一般方法較難入手時(shí)，可以用分析法探索解題思路，然后再倒回去，得到問(wèn)題的解決；也可以用分析法直接書寫解題過(guò)程，步驟要清晰，書寫要嚴(yán)格。 綜合法是從命題的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到問(wèn)題的解決。 綜合法的特點(diǎn)：廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，是解決問(wèn)題非常重要的方法。分析法是和綜合法相比較而清晰的，綜合法逐步推求已知條件的必要條件，而分析法步步逆向?qū)で笪粗马?xiàng)成立的充 分條件，所以分析法和綜合法 思維過(guò)程看是互逆的，敘述形式也有區(qū)別。 【典型例題】 例 已知 bababa ????? :,0 求證 證 明 ： abbabbba 22,0 ????? 即? ，進(jìn)而 bab 22 ??? ， 于 是bababababbababa ????????????? ,)(0,22 2即。 【點(diǎn)評(píng)】綜合法從正確地選擇已知其為真實(shí)的命題出發(fā)，依次推出一系列的真實(shí)命題，最后達(dá)到我們所要證明的結(jié)論，在用綜合法論證命題時(shí)，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能夠想到從哪里起步，我們一般的處理方法，是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的 各種性質(zhì)，逐層遞進(jìn)，步步為營(yíng)，由已知逐步引導(dǎo)到結(jié)論。 例 已知 cba , 為不全相等的正數(shù)，求證： 3????????? c cbab baca acb 證明：左邊 3??????? ???????? ???????? ?? accacbbcbaab cba ,? 為不全相等的正數(shù) 2,2,2 ??????? accabccbbaab 且這三式的等號(hào)不能同時(shí)成立。（否則 cba ?? ） 3363 ?????????? ???????? ???????? ?? accacbbcbaab 即 3?????????c cbab baca acb 【點(diǎn)評(píng)】本題用綜合法證明的出發(fā)點(diǎn)是以不等式的左端入手，加以變形，靈活運(yùn)用平均值不等式，這是綜合法證明不等式的主要技巧，為創(chuàng)造應(yīng)用條件，常把分子分成若干部分，對(duì)每部分運(yùn)用重要不等式，然后相加或相乘。 例 已知 cba , 為正實(shí)數(shù)，求證： )(2222222 cbaaccbba ???????? 證明：要證明 ? ?cbaaccbba ???????? 2222222 ，考慮到所要證明的式子中 cba , 的位置是對(duì)稱的， 22 ba ? 只與 ba? 建立不等式的關(guān)系，同樣 22 cb ? 只與cb? 建立不等式的關(guān)系， 22 ac ? 只與 ac? 建立不等式的關(guān)系，因而要證明結(jié)果，只要證明 ? ?baba ??? 2222 ，即證明： ? ? ? ? 222222 ?????? ??? baba ，即證明 ? ? 02 ??ba ，而此式成立。 ? ?baba ???? 2222 ， 同理： ? ? ? ?acaccbcb ?????? 2 2,2 2 2222 ， 三式相加得 ? ?cbaaccbba ???????? 2222222 【點(diǎn)評(píng)】在證明時(shí)，我們有時(shí)找不到解題思路或直接證明比較繁瑣，常常要觀察結(jié)論的形式和結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)，注意與題設(shè)之間的聯(lián)系，去探求解題的路子，在上例中，若用常見的方法兩邊平方分析就比較麻煩，但是考慮到 cba , 的輪換性，從而確定只要證明? ?baba ??? 2222 成立，在復(fù)雜的證明過(guò)程中，常常是分析法和綜合法 交叉混合使用，不要截然分開兩種證明的方法。 【階梯練習(xí)】 ★基礎(chǔ)練習(xí)★ 用分析法證明不等式時(shí)的推理過(guò)程一定是（ ） A、 正向、逆向均可進(jìn)行正確的推理 B、 只要能進(jìn)行逆向推理 C、 只要能進(jìn)行正向推理 D、 有時(shí)能正向推理，有時(shí)能逆向推理 若 Rba ?, ，則下面四個(gè)式子中恒成立的是（ ） A、 ? ? 01lg 2 ??a B、 ? ?1222 ???? baba C、 22 23 baba ?? D、 11???baba 設(shè) 4,0,0 ???? baba 且 ，則有（ ） A、 211?ab B、 2?ab C、 111 ??ba D、 411 ??ba 設(shè) Rba ?, ，且 2, ??? baba ，則必 有（ ） A、 21 22 baab ??? B、 21 22 baab ??? C、 12 22 ??? baab D、 12 22 ??? abba ★能力訓(xùn)練★ 設(shè) Rxxxqxp ????? ,2,12 234 ，則 qp, 的大小關(guān)系是 如果 abbabbaa ??? ，則實(shí)數(shù) ba, 應(yīng)滿足的條件是 若 ? ?bbaaba ???? 2 4,0 則的最小值為 已知 cba , 為不等正數(shù)且 1?abc ，求證：cbacba 111 ????? ★鏈接高考★ （ 2020 北京）數(shù)列 }{nx 由下列條件確定： *11 ),(21,0 Nnxaxxax nnn ????? ? （ 1）證明：對(duì) ,2?n 總有 axn ? ； （ 2）證明：對(duì) ,2?n 總有 1?? nn xx 直接證明與間接證明 (2) 間接證明 【要點(diǎn)梳理】 是一種常用的間接證明的方法。 反證法的證明過(guò)程可以概括為“ ”，步驟是：（ 1） （ 2） （ 3） 【指點(diǎn)迷津】 間接證明除了反證法外還有哪些？ 還有同一法，枚舉法等 歸謬包括哪些情形？ 包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾或與已知條件、臨時(shí)假定矛盾，以及自相矛盾等情形 【典型例題】 例 求證：當(dāng) 022 ??? cbxx 有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí)， 0?bc 證明：假設(shè) 0?bc ，則有三種情況出現(xiàn)； （ 1）若 0,0 ?? cb 方程變?yōu)?的根是方程 00,0 22212 ?????? cbxxxxx ，這與已知方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)根矛盾； （ 2）若 000,0,0,0 222222 ????????? cxcxccxcb 與時(shí)但當(dāng)方程變?yōu)?矛盾 （ 3）若 bxxbxxcb ??????? 212 ,0,0,0,0 方程的根為方程變?yōu)?，這與已知條件：方程有兩個(gè)非零實(shí)根矛盾。 綜上所述， 0?bc 【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)結(jié)論的反面的情形比較多時(shí)，要對(duì)每一種情形分別推出矛盾 例 已知： qpxxxf ??? 2)( （ 1） 求證： 2)2(2)3()1( ??? fff （ 2） 求證： )3()2()1( fff 、 中至少有一個(gè)不小于 21 證明：（ 1） 2)24(2)39()1()2(2)3()1( ???????????? qpqpqpfff （ 2）假設(shè) )3()2()1( fff 、 中至少有一個(gè)不小于 21 不成立，則假設(shè) )3()2()1( fff 、 都小于 21 ，則 ????????? )2(2)3()1()3()2(2)1(,2)3()2(2)1( fffffffff 而 2)248()39()1( ????????? qpqpqp ，這與 2)3()2(2)1( ??? fff 相矛盾，從而假設(shè)不成立，從而原命題成立，即 )3()2()1( fff 、 中至少有一個(gè)不