【文章內(nèi)容簡介】 小數(shù)， 所以 e 是無理數(shù)。 將下列推理恢復成完全的三段論 （ 1）因為三角形 ABC 三邊長依次為 5， 12， 13,所以三角形 ABC 為直角三角形； （ 2）函數(shù) 12 ??? xxy 的圖象是一條拋物線 指出下面三段論的大前提、小前提和結(jié)論 （ 1）凡同邊數(shù)的正多邊形都是相似的 （ 2）兩個正多邊形的邊數(shù)相同 （ 3）所以這兩個正多邊形也是相似的 用三段論證明通項公式為 dnaa n )1(1 ??? （ da, 為常數(shù)）的數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 直接證明與間接證明 (1) 直接證明 【要點梳理】 直接從原命題的條件逐步推得命題成立的，這種證明通常稱為 ，它的一般形式為 從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的 為止，這種證明方法稱為 從問題的 出發(fā)，追溯導致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到 為止，這種證明方法稱為 綜合法和分析法的推證過程是 綜合法 分析法 【指點迷津】 分析法和綜合法各有怎樣的優(yōu)缺點？ 綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法，兩種方法各有優(yōu)缺點，分析法解題方法較為明確，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不偏于思考，實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后用綜合法有條理地表述解題過程。 綜合法和分析法的思維 特點？ 分析法是從命題的結(jié)論出發(fā)，分析使結(jié)論成立的充分條件，若能夠肯定這些條件都已具備，就可以判定結(jié)論是正確的。 分析法的特點：有些題目用一般方法較難入手時，可以用分析法探索解題思路，然后再倒回去，得到問題的解決；也可以用分析法直接書寫解題過程，步驟要清晰，書寫要嚴格。 綜合法是從命題的條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達到問題的解決。 綜合法的特點：廣泛應用于數(shù)學知識的各個方面，是解決問題非常重要的方法。分析法是和綜合法相比較而清晰的，綜合法逐步推求已知條件的必要條件，而分析法步步逆向?qū)で笪粗马棾闪⒌某?分條件，所以分析法和綜合法 思維過程看是互逆的，敘述形式也有區(qū)別。 【典型例題】 例 已知 bababa ????? :,0 求證 證 明 ： abbabbba 22,0 ????? 即? ，進而 bab 22 ??? ， 于 是bababababbababa ????????????? ,)(0,22 2即。 【點評】綜合法從正確地選擇已知其為真實的命題出發(fā)，依次推出一系列的真實命題，最后達到我們所要證明的結(jié)論，在用綜合法論證命題時，必須首先找到正確的出發(fā)點，也就是能夠想到從哪里起步，我們一般的處理方法，是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的 各種性質(zhì)，逐層遞進，步步為營，由已知逐步引導到結(jié)論。 例 已知 cba , 為不全相等的正數(shù)，求證： 3????????? c cbab baca acb 證明：左邊 3??????? ???????? ???????? ?? accacbbcbaab cba ,? 為不全相等的正數(shù) 2,2,2 ??????? accabccbbaab 且這三式的等號不能同時成立。（否則 cba ?? ） 3363 ?????????? ???????? ???????? ?? accacbbcbaab 即 3?????????c cbab baca acb 【點評】本題用綜合法證明的出發(fā)點是以不等式的左端入手，加以變形，靈活運用平均值不等式，這是綜合法證明不等式的主要技巧，為創(chuàng)造應用條件，常把分子分成若干部分，對每部分運用重要不等式，然后相加或相乘。 例 已知 cba , 為正實數(shù)，求證： )(2222222 cbaaccbba ???????? 證明：要證明 ? ?cbaaccbba ???????? 2222222 ，考慮到所要證明的式子中 cba , 的位置是對稱的， 22 ba ? 只與 ba? 建立不等式的關(guān)系，同樣 22 cb ? 只與cb? 建立不等式的關(guān)系， 22 ac ? 只與 ac? 建立不等式的關(guān)系，因而要證明結(jié)果，只要證明 ? ?baba ??? 2222 ，即證明： ? ? ? ? 222222 ?????? ??? baba ，即證明 ? ? 02 ??ba ，而此式成立。 ? ?baba ???? 2222 ， 同理： ? ? ? ?acaccbcb ?????? 2 2,2 2 2222 ， 三式相加得 ? ?cbaaccbba ???????? 2222222 【點評】在證明時，我們有時找不到解題思路或直接證明比較繁瑣，常常要觀察結(jié)論的形式和結(jié)構(gòu)有什么特點，注意與題設之間的聯(lián)系，去探求解題的路子，在上例中，若用常見的方法兩邊平方分析就比較麻煩，但是考慮到 cba , 的輪換性，從而確定只要證明? ?baba ??? 2222 成立，在復雜的證明過程中，常常是分析法和綜合法 交叉混合使用，不要截然分開兩種證明的方法。 【階梯練習】 ★基礎練習★ 用分析法證明不等式時的推理過程一定是（ ） A、 正向、逆向均可進行正確的推理 B、 只要能進行逆向推理 C、 只要能進行正向推理 D、 有時能正向推理，有時能逆向推理 若 Rba ?, ，則下面四個式子中恒成立的是（ ） A、 ? ? 01lg 2 ??a B、 ? ?1222 ???? baba C、 22 23 baba ?? D、 11???baba 設 4,0,0 ???? baba 且 ，則有（ ） A、 211?ab B、 2?ab C、 111 ??ba D、 411 ??ba 設 Rba ?, ，且 2, ??? baba ，則必 有（ ） A、 21 22 baab ??? B、 21 22 baab ??? C、 12 22 ??? baab D、 12 22 ??? abba ★能力訓練★ 設 Rxxxqxp ????? ,2,12 234 ，則 qp, 的大小關(guān)系是 如果 abbabbaa ??? ，則實數(shù) ba, 應滿足的條件是 若 ? ?bbaaba ???? 2 4,0 則的最小值為 已知 cba , 為不等正數(shù)且 1?abc ，求證：cbacba 111 ????? ★鏈接高考★ （ 2020 北京）數(shù)列 }{nx 由下列條件確定： *11 ),(21,0 Nnxaxxax nnn ????? ? （ 1）證明：對 ,2?n 總有 axn ? ； （ 2）證明：對 ,2?n 總有 1?? nn xx 直接證明與間接證明 (2) 間接證明 【要點梳理】 是一種常用的間接證明的方法。 反證法的證明過程可以概括為“ ”，步驟是：（ 1） （ 2） （ 3） 【指點迷津】 間接證明除了反證法外還有哪些？ 還有同一法，枚舉法等 歸謬包括哪些情形？ 包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾或與已知條件、臨時假定矛盾，以及自相矛盾等情形 【典型例題】 例 求證：當 022 ??? cbxx 有兩個不相等的非零實數(shù)根時， 0?bc 證明：假設 0?bc ，則有三種情況出現(xiàn)； （ 1）若 0,0 ?? cb 方程變?yōu)?的根是方程 00,0 22212 ?????? cbxxxxx ，這與已知方程中有兩個不相等的實根矛盾； （ 2）若 000,0,0,0 222222 ????????? cxcxccxcb 與時但當方程變?yōu)?矛盾 （ 3）若 bxxbxxcb ??????? 212 ,0,0,0,0 方程的根為方程變?yōu)?，這與已知條件：方程有兩個非零實根矛盾。 綜上所述， 0?bc 【點評】當結(jié)論的反面的情形比較多時，要對每一種情形分別推出矛盾 例 已知： qpxxxf ??? 2)( （ 1） 求證： 2)2(2)3()1( ??? fff （ 2） 求證： )3()2()1( fff 、 中至少有一個不小于 21 證明：（ 1） 2)24(2)39()1()2(2)3()1( ???????????? qpqpqpfff （ 2）假設 )3()2()1( fff 、 中至少有一個不小于 21 不成立，則假設 )3()2()1( fff 、 都小于 21 ，則 ????????? )2(2)3()1()3()2(2)1(,2)3()2(2)1( fffffffff 而 2)248()39()1( ????????? qpqpqp ，這與 2)3()2(2)1( ??? fff 相矛盾，從而假設不成立，從而原命題成立，即 )3()2()1( fff 、 中至少有一個不