【文章內容簡介】 系統(tǒng)來說，特性曲線由正實軸處開始，順時針轉了 (n－m) 個象限，且由于 n＞m ，故必有ω → ∞時，A(ω)→0，即最后轉到原點上。同理任意 v 型系統(tǒng)的特性曲線，必由相位為 － v 90176。處的始點開始，順時針轉動(n－v－m)個象限后到達原點，如圖529所示。圖528 0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)幅相曲線的起點平面平面圖529 幅相曲線的終點 （3）開環(huán)幅相特性曲線與虛、實軸的交點：如果特性曲線轉過了幾個象限，它必定與實軸或虛軸有交點。交點確定方法如下：由P(ω)＝ 0求得ω 值，它就是特性曲線和虛軸相交時的頻率。用此ω 值求得的Q(ω)，即可得曲線與虛軸的交點值。 由Q(ω ) ＝ 0求解出曲線與實軸相交時的ω 值，用此ω 求得的P(ω)即為曲線與實軸的交點值。 利用上述特點就可較快地大致畫出幅相特性的圖形，如果局部需要更精細些，則可再確定若干個點來畫。 已知開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，根據不同的ω 值，計算出相應的P(ω)和Q(ω)或 A(ω) 和，可在復平面上得到不同的點并連成頻率特性曲線。 例51 設開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數為，試繪出系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。 解： 分母有理化 實頻特性 (567) 虛頻特性 (568) 幅頻特性 (569) 相頻特性  (570) 1. 起點 當ω ＝ 0時，P(0)＝K，Q(0)＝0，A(0)＝ K,＝0176。 2. 終點 當ω → ∞ 時，P(∞)＝ 0 ，Q(∞)＝0， A(∞)＝ 0 ，＝ －180176。 3. 與虛軸的交點 令P(ω)＝ 0，即，得，將ω１代入式(568)得 設K＝10 ,＝1,＝ 5時，代入(567)和 (568)式，取 ω 為不同值時P (ω)和Q (ω)結果如表53。表530∞00 0在G(s)平面上繪出幅相頻率特性曲線如圖530所示。 例52 設開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數為平面圖530 例題51的幅相曲線試繪出幅相曲線。 解： 經分母有理化可得 （571） （572） 幅頻特性和相頻特性為 （573） （574） 這是Ⅰ型系統(tǒng)。 1. 起點 當ω ＝0時，由式(573)和式(574)可計算出，Q (0) ＝－∞，A (0)＝∞ 。顯然當ω→0時，G( jω) 的漸近線是一條過實軸上點，且平行于虛軸的直線，即幅相曲線起始于負虛軸方向的無窮遠處，它的漸近線是。 2. 終點 當ω → ∞ 時，P(∞) ＝ 0 ，Q(∞) ＝0， A(∞) ＝ 0 。 該系統(tǒng) m ＝0，n ＝ 3 ，故特性曲線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點。 3. 幅相曲線與實軸的交點圖531 例題52的幅相曲線平面 令Q(ω)＝0，可得，將此ω１ 值代入式(571) ，可得幅相曲線與實軸的交點為，交點對應的頻率為?？梢宰C明。幅相曲線如圖531所示。 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數在右半 s 平面無零、極點，稱為最小相位系統(tǒng)。否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。 如果兩個系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角位移總小于非最小相位系統(tǒng)的相角位移。例如最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數分別為 式中 0＜T ＜T１。圖532 對應的相頻特性曲線 兩者幅頻特性相同而相頻特性卻不同，且 參見圖532。 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性直接關聯，也即一個幅頻特性只能有一個相頻特性與之對應；反之亦然。因此，對于最小相位系統(tǒng)，只要根據對數幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數。 例53 某最小相角系統(tǒng)，其近似對數幅頻曲線如圖533所示。試寫出該系統(tǒng)傳遞函數。圖533 某最小相位系統(tǒng)的近似對數幅頻曲線 解：由圖533可見，最左端直線斜率是－20dB/dec，故系統(tǒng)包含一個積分環(huán)節(jié) v ＝1。又ω 為1時最左端直線的縱坐標為15dB，由式(588)可求得比例環(huán)節(jié) K ＝。 因為ω 為2時，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故2是慣性環(huán)節(jié)交接頻率。類似的分析得知，7是一階微分環(huán)節(jié)交接頻率。于是系統(tǒng)的傳遞函數 應用奈奎斯特穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性1. 奈奎斯特穩(wěn)定判據 頻率法穩(wěn)定判據是奈奎斯特于1932年提出的，稱為奈奎斯特判據(簡稱奈氏判據)。奈氏判據與勞斯判據不同，它是根據開環(huán)幅相曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法。 開環(huán)系統(tǒng)頻率特性可由分析法給出，在系統(tǒng)數學表達式不能確切知道時，也可用實驗測得。奈氏判據不僅能判別閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且根據相對穩(wěn)定性的概念，它還可用于討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能及指出改善系統(tǒng)性能指標的途徑，成為設計系統(tǒng)的依據。 奈奎斯特判據及其證明 奈氏判據可以通過對輔助函數F (s)應用復變函數幅角原理得到證明。 ①．輔助函數F (s) 研究圖534所示系統(tǒng)。圖中設G (s)和H (s)是兩個多項式之比圖534 反饋控制系統(tǒng)結構圖如果G (s)和H (s)無極點與零點對消，則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數 (575)閉環(huán)傳遞函數 (576) 奈氏判據是從研究閉環(huán)和開環(huán)特征多項式之比這一函數著手的，這個函數仍是復變量 s的函數，并稱之為輔助函數，記作F (s)，即 (577)輔助函數和開環(huán)傳遞函數有以下簡單關系考慮到物理系統(tǒng)中，開環(huán)傳遞函數分子的最高次冪必小于分母的最高次冪，故F (s)可改寫為 (578)式Zi和Pi 分別為F (s)的零點和極點。 由上可知，輔助函數F (s)具有如下特點：第一，其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；第二，零點和極點個數相同；第三，F (s)和G (s)H (s)只差常數1。 ②. 幅角原理 在 s 平面上任選一點 s ，通過復變函數F (s)的映射關系，在F (s)平面可以找到相應的象。若在 F (s) 的極點零點分布圖535 a上選擇 A 點，使 s 從 A 開始，繞 F (s) 的某零點 zi 順時針沿封閉曲線Γs (Γs 不包圍也不通過任何極點和其它零點)轉一周回到 A 。相應地，F (s)則從F (s)平面上 B 出發(fā)且回到 B ，也描出一條封閉曲線ΓＦ ，如圖535 b所示。若 s 沿Γs 變化時，F (s)相角的變化為，則由方程(578)可得 (579)式中 ( i ＝ 1，2，… , n) 表示 s 沿Γs 變化時，向量相角的變化； ( j＝1，2，… ，n )的含義類似。由圖535 a可知， 除外， 式(579)右端其他各項都為零。 故= (580)式(580)表明，在F (s)平面上，F (s)曲線從 B 開始，繞其原點0順時針方向轉一圈。同理，當 s 從 s 平面 A 開始，繞著F (s)的某個極點Pk順時針轉一圈時，在F (s)平面上，F (s)曲線繞其原點0反時針轉一圈。圖535 s和F(s)的映射關系a) F(s)的極點零點分布和封閉曲線 b)F(s)曲線示意圖 幅角原理：如果封閉曲線Γs 內有 Z 個F (s)的零點、P 個F (s)的極點，則 s 沿Γs 順時針轉一圈時，在F (s)平面上，F (s)曲線繞其原點反時針轉過的圈數 R 為 P 和 Z 之差，即 (581)R 若為負，表示F (s)曲線繞原點順時針轉過的圈數。 ③. 奈氏判據 如果把 s 平面虛軸和半徑ρ為無窮大的右半圓取為封閉曲線Γs ，那么Γs 就擴大為包括虛軸的整個右半 s 平面。這樣的封閉曲線Γs 也叫奈氏路徑。幅角原理表達式(581)中的P和 Z 則分別表示輔助函數F (s)位于右半 s 平面的極點和零點數。 鑒于輔助函數F (s)的第三個特點，F (s)曲線繞原點反時針轉過的圈數 R 就是開環(huán)傳遞函數GK(s)曲線繞(－1，j0)點反時針轉過的圈數。此外，由于物理系統(tǒng)中，開環(huán)傳遞函數分母的最高次冪總大于分子的最高次冪，當 s 沿ρ為無窮的半圓取值時，通過GK(s)映射到GK(s)平面的象是原點，這恰好是 s 平面虛軸無窮遠點映射到GK(s)平面的象。 于是，式(581)中R 、P 和 Z 如今分別具有如下含義： R—— 奈氏曲線〔即 s 沿虛軸 － j∞到 j∞取值，頻率特性GK ( jω)的幅相曲線〕繞臨界點(－1，j0 )反時針轉過的圈數；當奈氏曲線反時針包圍 (－1，j0 )點時 R 取正，順時針包圍(－1，j0 )點時 R 取負。 P —— 輔助函數F (s)在右半 s 平面極點數；即開環(huán)傳遞函數在右半 s 平面的極點數。 Z —— 輔助函數F (s)在右半 s 平面零點數；即閉環(huán)傳遞函數在右半 s 平面的極點數。 根據第三章所得結論可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：Z ＝0，由式(581)可知，此即要求 R ＝ P。需要指出：閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，特征方程有純虛根，奈氏曲線過臨界點，這時奈氏曲線繞臨界點反時針轉過圈數 R 是不定的。 奈氏判據：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時針包圍臨界點的圈數R 等于開環(huán)傳遞函數在右半 s 平面的極點數 P ，即 R ＝ P ，Z ＝0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z ≠0，存在閉環(huán)正實部的特征根，閉環(huán)正實部特征根的個數 Z 可按下式確定： (582) 2. 應用奈奎斯特穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性應用奈奎斯特穩(wěn)定判據判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過例題說明例54 設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 ，試用奈氏判據判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：繪出該系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖536所示，曲線起點在實軸P(0)＝ 處，終點在原點，用分析法可得ω＝，曲線與負虛軸相交，交點為－。當ω ＝3時，曲線與負實軸相交，交點為－。 開環(huán)系統(tǒng)右半 s 平面的極點數為0。當ω從－∞～＋∞ 時，奈氏曲線以順時針包圍(－1，j0 )點兩圈，即 R ＝－2。Z ＝ P － R ＝0－(－2)＝2，Z≠0 ，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半 s 平面有2個根。 三、奈氏判據在Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)中的應用 設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數在原點具有 v 重極點。 上述奈氏路徑經過原點，所以不能應用幅角定理。為使奈氏路徑不經過原點，而且仍然能包圍整個右半 s 平面，現以原點為圓心作一半徑為無窮小的右半圓。并由以下四段線組成奈氏路徑： (i) 正虛軸 s ＝ jω ：頻率由0＋ 變化到＋∞； (ii) 半徑為無窮大的右半圓：R → ∞， 由 → ； (iii) 負虛軸 s ＝ jω：頻率由 －∞ 變化到 0－； (iv) 半徑為無窮小的右半圓：R ′→0，′由 c → ，如圖537。 對于Ⅰ型系統(tǒng)或Ⅱ型系統(tǒng)，當ω →０＋ 時，頻率特性曲線趨于無窮遠處，當ω →０－ 時,頻率特性曲線也趨于無窮遠處。頻率特性曲線及其鏡象在無窮遠處的連接線就是奈氏路徑中半徑為無窮小的半圓在G (s)平面的象。 將半徑為無窮小的半圓上的點表示為 (583)將式(583)代入上面G K(s)中，對于Ⅰ型系統(tǒng)，則有 (584)它是半徑為無窮大的右半圓。當 ′由變化到 時，由變化到，如圖538所示。圖中 a１，b１，c１，d１ 和 e１分別為奈氏路徑上 a ，b ，c，d 和 e 各點的象。 將式(583)代入上面 GK(s)中，對于Ⅱ型系統(tǒng)則有 (585)它是半徑為無窮大的圓?！?∞時，當由變化到時，是＋π變化到－π，如圖539所示。 圖中 a 2 ，b 2 ，c 2 ，d 2 和 e 2 分別為奈氏路徑上 a ，b ， c，d 和 e 各點的象。也就是說，對于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)，s 平面上以原點為圓心以無窮小為半徑，位于該平面右半側的小半圓在G(s)平面上，映射軌跡將是按反時針方向從ω ＝0＋ 變化到ω ＝0－ 分別以