【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，特性曲線由正實(shí)軸處開(kāi)始，順時(shí)針轉(zhuǎn)了 (n－m) 個(gè)象限，且由于 n＞m ，故必有ω → ∞時(shí)，A(ω)→0，即最后轉(zhuǎn)到原點(diǎn)上。同理任意 v 型系統(tǒng)的特性曲線，必由相位為 － v 90176。處的始點(diǎn)開(kāi)始，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(n－v－m)個(gè)象限后到達(dá)原點(diǎn)，如圖529所示。圖528 0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)幅相曲線的起點(diǎn)平面平面圖529 幅相曲線的終點(diǎn) （3）開(kāi)環(huán)幅相特性曲線與虛、實(shí)軸的交點(diǎn)：如果特性曲線轉(zhuǎn)過(guò)了幾個(gè)象限，它必定與實(shí)軸或虛軸有交點(diǎn)。交點(diǎn)確定方法如下：由P(ω)＝ 0求得ω 值，它就是特性曲線和虛軸相交時(shí)的頻率。用此ω 值求得的Q(ω)，即可得曲線與虛軸的交點(diǎn)值。 由Q(ω ) ＝ 0求解出曲線與實(shí)軸相交時(shí)的ω 值，用此ω 求得的P(ω)即為曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)值。 利用上述特點(diǎn)就可較快地大致畫(huà)出幅相特性的圖形，如果局部需要更精細(xì)些，則可再確定若干個(gè)點(diǎn)來(lái)畫(huà)。 已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，根據(jù)不同的ω 值，計(jì)算出相應(yīng)的P(ω)和Q(ω)或 A(ω) 和，可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連成頻率特性曲線。 例51 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試?yán)L出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線。 解： 分母有理化 實(shí)頻特性 (567) 虛頻特性 (568) 幅頻特性 (569) 相頻特性  (570) 1. 起點(diǎn) 當(dāng)ω ＝ 0時(shí)，P(0)＝K，Q(0)＝0，A(0)＝ K,＝0176。 2. 終點(diǎn) 當(dāng)ω → ∞ 時(shí)，P(∞)＝ 0 ，Q(∞)＝0， A(∞)＝ 0 ，＝ －180176。 3. 與虛軸的交點(diǎn) 令P(ω)＝ 0，即，得，將ω１代入式(568)得 設(shè)K＝10 ,＝1,＝ 5時(shí)，代入(567)和 (568)式，取 ω 為不同值時(shí)P (ω)和Q (ω)結(jié)果如表53。表530∞00 0在G(s)平面上繪出幅相頻率特性曲線如圖530所示。 例52 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為平面圖530 例題51的幅相曲線試?yán)L出幅相曲線。 解： 經(jīng)分母有理化可得 （571） （572） 幅頻特性和相頻特性為 （573） （574） 這是Ⅰ型系統(tǒng)。 1. 起點(diǎn) 當(dāng)ω ＝0時(shí)，由式(573)和式(574)可計(jì)算出，Q (0) ＝－∞，A (0)＝∞ 。顯然當(dāng)ω→0時(shí)，G( jω) 的漸近線是一條過(guò)實(shí)軸上點(diǎn)，且平行于虛軸的直線，即幅相曲線起始于負(fù)虛軸方向的無(wú)窮遠(yuǎn)處，它的漸近線是。 2. 終點(diǎn) 當(dāng)ω → ∞ 時(shí)，P(∞) ＝ 0 ，Q(∞) ＝0， A(∞) ＝ 0 。 該系統(tǒng) m ＝0，n ＝ 3 ，故特性曲線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點(diǎn)。 3. 幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)圖531 例題52的幅相曲線平面 令Q(ω)＝0，可得，將此ω１ 值代入式(571) ，可得幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為。可以證明。幅相曲線如圖531所示。 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面無(wú)零、極點(diǎn)，稱為最小相位系統(tǒng)。否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。 如果兩個(gè)系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對(duì)大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角位移總小于非最小相位系統(tǒng)的相角位移。例如最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 式中 0＜T ＜T１。圖532 對(duì)應(yīng)的相頻特性曲線 兩者幅頻特性相同而相頻特性卻不同，且 參見(jiàn)圖532。 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性直接關(guān)聯(lián)，也即一個(gè)幅頻特性只能有一個(gè)相頻特性與之對(duì)應(yīng)；反之亦然。因此，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只要根據(jù)對(duì)數(shù)幅頻曲線就能寫(xiě)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 例53 某最小相角系統(tǒng)，其近似對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖533所示。試寫(xiě)出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖533 某最小相位系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻曲線 解：由圖533可見(jiàn)，最左端直線斜率是－20dB/dec，故系統(tǒng)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié) v ＝1。又ω 為1時(shí)最左端直線的縱坐標(biāo)為15dB，由式(588)可求得比例環(huán)節(jié) K ＝。 因?yàn)棣?為2時(shí)，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故2是慣性環(huán)節(jié)交接頻率。類似的分析得知，7是一階微分環(huán)節(jié)交接頻率。于是系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性1. 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 頻率法穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，稱為奈奎斯特判據(jù)(簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù))。奈氏判據(jù)與勞斯判據(jù)不同，它是根據(jù)開(kāi)環(huán)幅相曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性可由分析法給出，在系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式不能確切知道時(shí)，也可用實(shí)驗(yàn)測(cè)得。奈氏判據(jù)不僅能判別閉環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定性的概念，它還可用于討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能及指出改善系統(tǒng)性能指標(biāo)的途徑，成為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。 奈奎斯特判據(jù)及其證明 奈氏判據(jù)可以通過(guò)對(duì)輔助函數(shù)F (s)應(yīng)用復(fù)變函數(shù)幅角原理得到證明。 ①．輔助函數(shù)F (s) 研究圖534所示系統(tǒng)。圖中設(shè)G (s)和H (s)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比圖534 反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如果G (s)和H (s)無(wú)極點(diǎn)與零點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) (575)閉環(huán)傳遞函數(shù) (576) 奈氏判據(jù)是從研究閉環(huán)和開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比這一函數(shù)著手的，這個(gè)函數(shù)仍是復(fù)變量 s的函數(shù)，并稱之為輔助函數(shù)，記作F (s)，即 (577)輔助函數(shù)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有以下簡(jiǎn)單關(guān)系考慮到物理系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪必小于分母的最高次冪，故F (s)可改寫(xiě)為 (578)式Zi和Pi 分別為F (s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。 由上可知，輔助函數(shù)F (s)具有如下特點(diǎn)：第一，其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開(kāi)環(huán)特征根；第二，零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同；第三，F(xiàn) (s)和G (s)H (s)只差常數(shù)1。 ②. 幅角原理 在 s 平面上任選一點(diǎn) s ，通過(guò)復(fù)變函數(shù)F (s)的映射關(guān)系，在F (s)平面可以找到相應(yīng)的象。若在 F (s) 的極點(diǎn)零點(diǎn)分布圖535 a上選擇 A 點(diǎn)，使 s 從 A 開(kāi)始，繞 F (s) 的某零點(diǎn) zi 順時(shí)針沿封閉曲線Γs (Γs 不包圍也不通過(guò)任何極點(diǎn)和其它零點(diǎn))轉(zhuǎn)一周回到 A 。相應(yīng)地，F(xiàn) (s)則從F (s)平面上 B 出發(fā)且回到 B ，也描出一條封閉曲線ΓＦ ，如圖535 b所示。若 s 沿Γs 變化時(shí)，F(xiàn) (s)相角的變化為，則由方程(578)可得 (579)式中 ( i ＝ 1，2，… , n) 表示 s 沿Γs 變化時(shí)，向量相角的變化； ( j＝1，2，… ，n )的含義類似。由圖535 a可知， 除外， 式(579)右端其他各項(xiàng)都為零。 故= (580)式(580)表明，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線從 B 開(kāi)始，繞其原點(diǎn)0順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)一圈。同理，當(dāng) s 從 s 平面 A 開(kāi)始，繞著F (s)的某個(gè)極點(diǎn)Pk順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線繞其原點(diǎn)0反時(shí)針轉(zhuǎn)一圈。圖535 s和F(s)的映射關(guān)系a) F(s)的極點(diǎn)零點(diǎn)分布和封閉曲線 b)F(s)曲線示意圖 幅角原理：如果封閉曲線Γs 內(nèi)有 Z 個(gè)F (s)的零點(diǎn)、P 個(gè)F (s)的極點(diǎn)，則 s 沿Γs 順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線繞其原點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù) R 為 P 和 Z 之差，即 (581)R 若為負(fù)，表示F (s)曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。 ③. 奈氏判據(jù) 如果把 s 平面虛軸和半徑ρ為無(wú)窮大的右半圓取為封閉曲線Γs ，那么Γs 就擴(kuò)大為包括虛軸的整個(gè)右半 s 平面。這樣的封閉曲線Γs 也叫奈氏路徑。幅角原理表達(dá)式(581)中的P和 Z 則分別表示輔助函數(shù)F (s)位于右半 s 平面的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)。 鑒于輔助函數(shù)F (s)的第三個(gè)特點(diǎn)，F(xiàn) (s)曲線繞原點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù) R 就是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)曲線繞(－1，j0)點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。此外，由于物理系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母的最高次冪總大于分子的最高次冪，當(dāng) s 沿ρ為無(wú)窮的半圓取值時(shí)，通過(guò)GK(s)映射到GK(s)平面的象是原點(diǎn)，這恰好是 s 平面虛軸無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射到GK(s)平面的象。 于是，式(581)中R 、P 和 Z 如今分別具有如下含義： R—— 奈氏曲線〔即 s 沿虛軸 － j∞到 j∞取值，頻率特性GK ( jω)的幅相曲線〕繞臨界點(diǎn)(－1，j0 )反時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)；當(dāng)奈氏曲線反時(shí)針包圍 (－1，j0 )點(diǎn)時(shí) R 取正，順時(shí)針包圍(－1，j0 )點(diǎn)時(shí) R 取負(fù)。 P —— 輔助函數(shù)F (s)在右半 s 平面極點(diǎn)數(shù)；即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)。 Z —— 輔助函數(shù)F (s)在右半 s 平面零點(diǎn)數(shù)；即閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)。 根據(jù)第三章所得結(jié)論可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：Z ＝0，由式(581)可知，此即要求 R ＝ P。需要指出：閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，特征方程有純虛根，奈氏曲線過(guò)臨界點(diǎn)，這時(shí)奈氏曲線繞臨界點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)圈數(shù) R 是不定的。 奈氏判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)R 等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù) P ，即 R ＝ P ，Z ＝0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z ≠0，存在閉環(huán)正實(shí)部的特征根，閉環(huán)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù) Z 可按下式確定： (582) 2. 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過(guò)例題說(shuō)明例54 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試用奈氏判據(jù)判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：繪出該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖536所示，曲線起點(diǎn)在實(shí)軸P(0)＝ 處，終點(diǎn)在原點(diǎn)，用分析法可得ω＝，曲線與負(fù)虛軸相交，交點(diǎn)為－。當(dāng)ω ＝3時(shí)，曲線與負(fù)實(shí)軸相交，交點(diǎn)為－。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)為0。當(dāng)ω從－∞～＋∞ 時(shí)，奈氏曲線以順時(shí)針包圍(－1，j0 )點(diǎn)兩圈，即 R ＝－2。Z ＝ P － R ＝0－(－2)＝2，Z≠0 ，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半 s 平面有2個(gè)根。 三、奈氏判據(jù)在Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)具有 v 重極點(diǎn)。 上述奈氏路徑經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以不能應(yīng)用幅角定理。為使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而且仍然能包圍整個(gè)右半 s 平面，現(xiàn)以原點(diǎn)為圓心作一半徑為無(wú)窮小的右半圓。并由以下四段線組成奈氏路徑： (i) 正虛軸 s ＝ jω ：頻率由0＋ 變化到＋∞； (ii) 半徑為無(wú)窮大的右半圓：R → ∞， 由 → ； (iii) 負(fù)虛軸 s ＝ jω：頻率由 －∞ 變化到 0－； (iv) 半徑為無(wú)窮小的右半圓：R ′→0，′由 c → ，如圖537。 對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)或Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)ω →０＋ 時(shí)，頻率特性曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，當(dāng)ω →０－ 時(shí),頻率特性曲線也趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。頻率特性曲線及其鏡象在無(wú)窮遠(yuǎn)處的連接線就是奈氏路徑中半徑為無(wú)窮小的半圓在G (s)平面的象。 將半徑為無(wú)窮小的半圓上的點(diǎn)表示為 (583)將式(583)代入上面G K(s)中，對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)，則有 (584)它是半徑為無(wú)窮大的右半圓。當(dāng) ′由變化到 時(shí)，由變化到，如圖538所示。圖中 a１，b１，c１，d１ 和 e１分別為奈氏路徑上 a ，b ，c，d 和 e 各點(diǎn)的象。 將式(583)代入上面 GK(s)中，對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)則有 (585)它是半徑為無(wú)窮大的圓?！?∞時(shí)，當(dāng)由變化到時(shí)，是＋π變化到－π，如圖539所示。 圖中 a 2 ，b 2 ，c 2 ，d 2 和 e 2 分別為奈氏路徑上 a ，b ， c，d 和 e 各點(diǎn)的象。也就是說(shuō)，對(duì)于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)，s 平面上以原點(diǎn)為圓心以無(wú)窮小為半徑，位于該平面右半側(cè)的小半圓在G(s)平面上，映射軌跡將是按反時(shí)針?lè)较驈摩?＝0＋ 變化到ω ＝0－ 分別以