【正文】 這五段直線 即是系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性。當(dāng)ω＝ω3＝8時，在此頻率上作斜率為－40dB/dec 的直線。 3. 當(dāng)ω ＝ω１＝ 時，因為系統(tǒng)是具有兩個時間常數(shù)為100的一階微分環(huán)節(jié)，分段直線的斜率變化量為＋220dB/dec，原來是－40dB/dec，過ω ＝，斜率變?yōu)?0 dB/dec。 2. 低頻漸近線的斜率為－20 v dB/dec＝－40dB/dec 。圖562 例513幅相曲線a)b)c)a)TZ的幅相曲線 b)T=Z的幅相曲線 c) TZ的幅相曲線例514 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為試?yán)L制用分段直線表示的對數(shù)幅頻特性。其幅相曲線如圖562 c所示，虛線是補(bǔ)畫的半徑∞的圓。 ③ 當(dāng) 時，ω由0～＋∞時在Ⅱ象限內(nèi)由 —180176。與頻率ω 無關(guān)，其幅相曲線如圖562 b所示，為整個負(fù)實軸。由于幅相曲線左端無窮遠(yuǎn)處時開口的，它沒有包圍 (－1，j 0 )點，故 R ＝ 0，又已知系統(tǒng)無右半 s 平面的開環(huán)極點 P ＝ 0 ，由奈氏判據(jù)知 Z ＝ P — R ＝ 0 ，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。變到－180 176。 解：由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)可求得系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 幅頻特性 相頻特性 當(dāng)ω ＝0時。 當(dāng) K ＞1時，R ＝ ＋1，Z ＝ P － R ＝1－1＝0，故閉環(huán)穩(wěn)定；當(dāng)K ＜1時，R ＝ 0，Z ＝ P － R ＝1－0＝1，故閉環(huán)不穩(wěn)定，右半 s 平面有一個根。 開環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面上的開環(huán)極點數(shù)P ＝1。到－90 176。沿負(fù)虛軸趨于原點。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表明V=1,K=(1) 求斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差（2）求正弦輸入時穩(wěn)態(tài)輸出由可得穩(wěn)態(tài)輸出例512 單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)為，試用奈氏判據(jù)判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 應(yīng)用MATLAB繪制系統(tǒng)的頻率特性511 例題精解通過以下例題掌握本章內(nèi)容。綜上所述，對于一、二階頻域指標(biāo) ， ，與時域性能指標(biāo)%，有著確定的關(guān)系。由圖可見，和隨 的變化趨勢相反，ωb 愈大，tp 愈小，系統(tǒng)反應(yīng)迅速，快動作性好。由圖可見 愈大，愈小，相應(yīng)的%也愈小。 將表征頻率特性的參數(shù)，ωc 及 ，ωb 等與 ，ωn 的關(guān)系式和時域性能指標(biāo) % ，等與 ，ωn 的關(guān)系式相聯(lián)系，消去，ωn ，則可得到頻率特性參數(shù)和時域性能指標(biāo)之間的關(guān)系，這些關(guān)系也可用曲線表示。 典型二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 (5105) 閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性為 當(dāng)0＜ ＜時， M (ω)曲線具有峰值，令，可求得諧振頻率和諧振峰值分別為 (5106) (5107) 由式(5106)可知，當(dāng) ＞時,無實解，即不存在峰值。 典型二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 （5100） 在0＜＜1時，最大超調(diào)量 （5101）峰值時間 （5102） 調(diào)節(jié)時間 (5%) 現(xiàn)在計算二階系統(tǒng)的頻率特性以及討論頻域性能指標(biāo)和特征參數(shù)之間的關(guān)系。、典型一階、二階系統(tǒng)的頻率特性和瞬態(tài)性能的關(guān)系 具有單位負(fù)反饋的典型一階系統(tǒng)，其 開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)傳遞函數(shù) （599） 式中 為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。. 帶寬頻率和帶寬（0~ωb） 如圖557所示，閉環(huán)幅頻特性下降到頻率為0時的分貝值以下3dB時，或閉環(huán)頻率特性幅值，由其初值M (0)減小到 (0) 時，對應(yīng)頻率ωb 稱為帶寬頻率，由帶寬圖557 閉環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線和帶寬或求得的ω 就是ωb 。對于Ⅰ型系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性曲線如圖556 b所示， v ＝1幅頻特性低頻漸近線斜率為－20dB/dec ，由 L (ω)＝20log K－20 logω，令L (ω)＝0，漸近線與0分貝線的交點確定K ＝ω0 。又因為低頻漸近線的位置與K有關(guān)，所以就可求出穩(wěn)態(tài)誤差。20dB/dec20dB/dec40dB/dec60dB/dec40dB/dec圖556 0，Ⅰ，Ⅱ型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線 0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)，其頻率特性如圖556所示，我們在第三章中學(xué)過穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)系統(tǒng)積分個數(shù) v 和開環(huán)增益 K有關(guān)。圖555 由等 圓圖a)和等 圓圖b)確定閉環(huán)頻率特性曲線c) MN 167。不難看出，ω ＝ω1 時，幅相曲線與M＝。 利用等M 圖和等 N 圖，由開環(huán)幅相曲線與等M 圓和等 N 圓交點，可得相應(yīng)頻率的 M值和 N 值，即可得在交點頻率處閉環(huán)頻率特性的幅值和相角。＝tg ( －120 176。和＝－120176。圖554是將 作為參變量的等 N 圓圖。圖553 等 圓圖M 下面求G ( jω)平面的等 N 圖，因為 設(shè)  即（597） 依三角函數(shù)公式 由(594)得 整理得 （598） 令 N 為常數(shù)，上述方程表示半徑圖554 等 N圓 圖 ，圓心為 (－ ，)的圓。在G (jω)平面上，等M 軌跡是一簇圓，對于給定的M 值，很容易算出它的圓心和半徑。 等M圓與等N圓 如果將函數(shù)G ( jω)和Φ ( jω)表示成下列形式 （594） （595） 式中 M (ω)和分別為閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻和相頻特性，由式(594)可得 將方程兩邊平方，經(jīng)變換得 （596） 若令M 為常數(shù)，由上式在G (jω)平面上表示一個圓。 閉環(huán)頻率特性 閉環(huán)頻率特性與開環(huán)頻率特性的關(guān)系 在單位負(fù)反饋系統(tǒng)中，開環(huán)和閉環(huán)頻率特性有如下固定的關(guān)系，即： （593） 如果單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖552所示，則由圖可知時，開環(huán)頻率特性而圖552 由幅相曲線確定閉環(huán)頻率特性即可用圖解計算法逐點求得不同頻率對應(yīng)的閉環(huán)幅值和相角，就可求得閉環(huán)頻率特性。1. 時的對數(shù)幅頻曲線；2. 時的對數(shù)幅頻曲線； 3. 對數(shù)相頻曲線圖551 系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線10 dB10 dB24176。但是，減小K 一般會使斜坡輸入時穩(wěn)態(tài)誤差變大。的相角裕度。應(yīng)該指出，為了獲得滿意的過渡過程，通常要求系統(tǒng)有 45 176。 知道了ωc 后，便可利用公式(588)求相角裕度。當(dāng) K＝20時。 在本例中，由圖可知因 1＜ωc ＜5，故可取 (認(rèn)為1), [認(rèn)為]。由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)得 按定義由 A (ω)＝1就可以求出ωc 來，但系統(tǒng)階數(shù)高時，由 A (ω)＝1求ωc 是很麻煩的。 K ＝20時，由曲線1和3看到因為＜0，Lg ＜0，故對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 解：系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性如圖551所示。a) 幅值裕度和相角裕度示意圖 b)對數(shù)幅值裕量和相角裕量示意圖圖550 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性分析對于最小相位系統(tǒng)，相角裕度大于零，幅值裕度 h 大于1，系統(tǒng)穩(wěn)定，和 h 越大，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越好；＝0，h ＝1，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；＜0，h ＜1，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。 在對數(shù)坐標(biāo)圖上，采用 Lg 表示 h 的分貝值，即 (592)Lg稱為對數(shù)幅值穩(wěn)定裕度或?qū)?shù)增益穩(wěn)定裕度。加開環(huán)幅相曲線幅值等于1時的相角，即 （591）式中，ωc 稱為截止頻率或稱剪切頻率，在ωc 處，A (ωc) ＝1。h 的物理意義在于穩(wěn)定系統(tǒng)在相角交界頻率ωg 處，若幅值增大 h 倍，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。時對應(yīng)幅值的倒數(shù)。 習(xí)慣上常用和 h 來表示幅相頻率特性曲線接近臨界點(－1, j 0 )點的程度，表示相對穩(wěn)定性。 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 增益裕量圖549 多回路反饋系統(tǒng)框圖 本節(jié)介紹表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的兩個指標(biāo)：相角裕度和幅值裕度 h ，它們常作為第六章頻率法校正的指標(biāo)。對于復(fù)合控制系統(tǒng)，只有當(dāng)開環(huán)部分和閉環(huán)部分都是穩(wěn)定的，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。對于實際系統(tǒng)，應(yīng)將其化為可應(yīng)用奈氏判據(jù)的形式，然后再進(jìn)行判別。多環(huán)控制系統(tǒng)需多次利用奈氏判據(jù)才能最后確定整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如圖549所示，內(nèi)環(huán)為非單位反饋時應(yīng)按上述方法分析。Φ ′(s) 的穩(wěn)定性可由奈氏判據(jù)判別。如圖548 b所示。 非單位反饋控制系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 非單位反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 如圖552 a所示的非單位反饋系統(tǒng)，可將其閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)寫為式中，GK(s)＝G(s)H(s) 為開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 N ＝ N＋－ N－ ＝ －1根據(jù) GK(s) 表達(dá)式知道，P ＝0。的虛線，作為對數(shù)相頻曲線的一部分。GK(s)有兩個積分環(huán)節(jié)，故在對數(shù)相頻曲線ω 為0＋ 處，補(bǔ)畫了0176。 (+)()()(+)正穿越負(fù)穿越圖546 幅相曲線及其對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線a)幅相曲線 b)對數(shù)頻率特性曲線例59 一反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù) Z ，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半 s 平面極點數(shù) P 和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與180176。當(dāng)GK(s)包含積分環(huán)節(jié)時，在對數(shù)相頻曲線ω 為 0＋的地方，應(yīng)該補(bǔ)畫一條從相角到的虛線，這里 v 是積分環(huán)節(jié)個數(shù)。線開始的負(fù)穿越為半次負(fù)穿越)。這時，正負(fù)穿越的含義如下：ω增大時，相角增加的穿越為正穿越 (從－180176。比較幅相曲線和對數(shù)頻率特性曲線得知，正負(fù)穿越數(shù)完全可以根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線在大于0 dB的頻率范圍里，對數(shù)相頻曲線穿越 －180176。此結(jié)果也可根據(jù)ω 增加時幅相曲線自下向上(相角減小)和自上向下(相角增加)穿越實軸區(qū)間(－∞，－1)的次數(shù)決定。 在圖546上，繪制了一條幅相曲線及其對應(yīng)的對數(shù)頻率特性曲線。分別繪出 G１( jω)和 G2 (jω)的對數(shù)幅頻特性 L１(ω)、L 2 (ω)和對數(shù)相頻特性、則對數(shù)頻率特性如圖545所示。例58 延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性。；ω →∞時，＝－180 176。 。即低頻漸近線的斜率為0，且過點(1，20)。 解：1. K ＝10，v ＝0，交接頻率 ω１＝1。高頻漸近線的斜率為－20(n－m)dB/dec ，式中 n ＝ v ＋ n1 ＋2 n2 ，m＝m 1＋2m2 分別為傳遞函數(shù)分母多項式和分子多項式的次數(shù)。修正時應(yīng)考慮相鄰各環(huán)節(jié)的互相影響。依次得到的分段直線即為近似的對數(shù)幅頻特性。由式(587)可推得當(dāng)→ 0時，低頻漸近線的方程為 （588）所以低頻漸近線的斜率為－20v dB/dec，低頻漸近線的位置由下式確定： 當(dāng)ω ＝1時，L (1) ＝20 log K (dB) ，由此可繪出過ω ＝1，L (1) ＝20logK(dB) 點的斜率為－20v dB/dec 的一條直線，即為低頻漸近線。 2. 繪制對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線。 若將開環(huán)系統(tǒng)頻率特性寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式，則有 （587） 圖543 兩個環(huán)節(jié)相串聯(lián)的對數(shù)頻率特性可以分別繪出典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性，進(jìn)行相加后可得開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性。 控制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制及對數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)由兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成即  如果已知各環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性