線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析(參考版)
2025-01-15 15:40本頁面
【正文】 ① 由初始狀態(tài)引起的狀態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)；（零輸入響應(yīng)） ② 初始時(shí)刻之后的輸入引起的狀態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。 ? 本章首先導(dǎo)出了線性定常連續(xù)系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解 ， 定義了矩陣指數(shù)函數(shù) 、 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其計(jì)算方法 ， 并基于此得到了非齊次狀態(tài)方程的解 。 plot(t,x) % 輸入狀態(tài)空間模型各矩陣 ,若沒有相應(yīng)值 ,可賦空矩陣 % 輸入初始狀態(tài) % 求系統(tǒng)在 [0,5s]的初始狀態(tài)響應(yīng) % 繪以時(shí)間為橫坐標(biāo)的狀態(tài)響應(yīng)曲線圖 00 1 12 3 2? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?x x x? Matlab程序 m33執(zhí)行結(jié)果 如圖 31所示 。 sys=ss(A,B,C,D)。 x0=[1。 C=[]。 2 3]。 其中 ， 最后一句語句 plot(t,x)是以時(shí)間坐標(biāo)數(shù)組 t為橫坐標(biāo) ， 繪出 x中存儲(chǔ)的 2維狀態(tài)向量 x(t)的隨時(shí)間變化的軌跡 。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求解 ?Matlab問題 33 試在 Matlab中計(jì)算例 31中如下系統(tǒng)在 [0,5s]的初始狀態(tài)響應(yīng) 。 2 3]。 syms t。 ? Matlab程序 m32執(zhí)行結(jié)果 如下 。 0123A?????????? Matlab程序 m32如下 。 ?符號計(jì)算函數(shù) expm()的調(diào)用格式為 expA=expm(A) 其中 ,輸入矩陣 A為 Matlab的符號矩陣 ,輸出矩陣 expA為計(jì)算所得的 eA的 Matlab符號矩陣 。 ?在該語句后 ， 就可以輸入和計(jì)算符號表達(dá)式與符號矩陣 。 ?在使用 Matlab的符號計(jì)算工具箱計(jì)算時(shí) ， 需要定義符號變量 ， 輸入符號表達(dá)式與符號矩陣 。 t=。 A=[0 1。 ? Matlab程序 m31如下 。 ? expm()函數(shù)的主要調(diào)用格式為 Y = expm(X) 其中 ， X為輸入的需計(jì)算矩陣指數(shù)的矩陣 ， Y為計(jì)算的結(jié)果 。 ?eAt的數(shù)值計(jì)算 ?eAt的符號計(jì)算 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算 1. eAt的數(shù)值計(jì)算 ? 在 Matlab中 ， 給定矩陣 A和時(shí)間 t的值 ， 計(jì)算矩陣指數(shù) eAt的值可以直接采用基本矩陣函數(shù) expm()。 ?另一類是符號計(jì)算 ， 即在給定矩陣 A下 ， 計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) eAt的封閉的 (解析的 )矩陣函數(shù)表達(dá)式 。 ?本章中涉及的計(jì)算問題主要有 ?矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算 、 ?系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的計(jì)算 (即狀態(tài)空間模型的求解 ) 基于 Matlab的基本函數(shù)和工具箱 ， 可以進(jìn)行上述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析的計(jì)算和仿真 。 ? 但是 ， 由于時(shí)變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型較復(fù)雜 ， 且不易于系統(tǒng)分析 、 優(yōu)化和控制 ， 因此只要實(shí)際工程允許 ， 都可將慢時(shí)變系統(tǒng)在一定范圍內(nèi)近似地作為定常系統(tǒng)處理 。 ? 如電機(jī)的溫升導(dǎo)致電阻以及系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變化；電子器件的老化使其特性也發(fā)生變化 。 ?對上述狀態(tài)方程的求解式利用卷積分公式，則有 【 例 5】 已知線性定常系統(tǒng)為 試求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，狀態(tài)方程的解。 ?下面先回顧卷積積分的拉氏變換法則 。 ?當(dāng) t0=0時(shí)，解 x(t)又可記為 因此 ?若用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來表示，上述非齊次狀態(tài)方程的解又可分別記為 (P98 ()) (P98 ()) 2. 拉氏變換法 將該非齊次狀態(tài)方程兩邊取拉氏變換 ,可得 sX(s)x0=AX(s)+BU(s) 即 X(s)=(sIA)1[x0+BU(s)] 其中 X(s)和 U(s)分別為 x(t)和 u(t)的拉氏變換。 由特征方程可求得特征值為 ?1=2 ?2=?3=1 2. 由于矩陣 A為友矩陣，故將 A變換成約旦矩陣的變換矩陣 P和其逆陣 P1分別為 3. 由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系 ,分別有 非齊次狀態(tài)方程的解 ?當(dāng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有輸入作用時(shí) ,其狀態(tài)方程為如下非齊次狀態(tài)方程 : x’=Ax+Bu 該狀態(tài)方程在初始狀態(tài) 下的解 , ? 也就是 由初始狀態(tài) x(t0)和輸入作用 u(t)所引起的系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡 。 由特征方程可求得特征值為 ?1=1 ?2=2 ?3=3 2. 求特征值所對應(yīng)的特征向量。 ?下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì) : ? 對矩陣 A，經(jīng)變換矩陣 P作線性變換后，有 ? 則相應(yīng)地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系 ?該結(jié)論可簡單證明如下 : ?根據(jù)上述性
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