線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析(參考版)
2024-08-01 17:18本頁(yè)面
【正文】 在特征方程所有系數(shù)大于 0的前提下，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件式：所有 奇數(shù)次 赫爾維茨行列式均大于 0， 或 所有 偶數(shù)次 赫爾維茨 行列式均大于 0。 31 5 02 3 100 1 5D ? 41 5 0 02 3 1 0 00 1 5 00 2 3 1 0D ?例 8：系統(tǒng)特征方式為 4 3 22 8 4 2 0s s s s? ? ? ? ?試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。即： 11 0Da??1 3 53 0 2 41300a a aD a a aaa??0nD ?132020aaDaa??例 7：系統(tǒng)特征方式為 4 3 22 3 5 1 0 0s s s s? ? ? ? ?試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 赫爾維茨 (Hurwitz)判據(jù) （補(bǔ)充） 一種代數(shù)判據(jù)， 1895年由 Hurwitz提出。 解 ： (1)首先判斷原系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 列勞斯表： 32102 1310 4130 8104ssss?由于該表第一列系數(shù)均大于 0, 故原系統(tǒng)是 穩(wěn)定 的 。已知參數(shù) ＝ ， ＝ ，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K1的取值范圍。 穩(wěn)定裕量 —— 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 σj ω02??1??1ss ???例 39：設(shè)比例－積分 (PI)控制系統(tǒng)如圖所示。2s j s j? ? ? ? 勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 勞斯判據(jù)主要用于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷，如果系統(tǒng) 不穩(wěn)定，勞斯判據(jù)不能給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的方法；如果系 統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯判據(jù)不能保證系統(tǒng)具備滿意的動(dòng)態(tài)性能。又第一列系數(shù)不變號(hào) ， 所以系統(tǒng)沒有 s右半平面根 ， 根位于虛軸上 。 解：列勞斯表 5431 3 21 3 200sss例 4：系統(tǒng)的特征方程為： 5 4 3 2( ) 3 3 2 2 0D s s s s s s? ? ? ? ? ? ?試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 : 列勞斯表得 ： 62 0??? ? ? ? ?其中 01632)( 234 ?????? sssssD， 出現(xiàn)所有元均為零的情況。 01632)( 234 ?????? sssssD試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 注意：勞斯表中同一行元素同乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，由勞斯判據(jù)所得的結(jié)論不變。列勞斯表 例 2：系統(tǒng)如圖所示 ， 確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的 K的取值范圍 。 4 3 22 3 4 5 0s s s s? ? ? ? ?432101 3 52 4 01565sssss? 由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了 兩 次 , 因此該方程中有 兩 個(gè)根 s右 半平面 , 故系統(tǒng)是 不穩(wěn)定 的 。而且第一列各系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，等于特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。
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