【正文】 則開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性均為各環(huán)節(jié)相應(yīng)特性之和。 由幅相曲線看到，曲線順時針包圍 (－1, j 0 )點一圈，即 N ＝ －1，而開環(huán)傳遞函數(shù)右半 s 平面的極點數(shù)為0，即 P ＝0。圖540 Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線 例56 一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)，試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 又因為開環(huán)系統(tǒng)在右半 s 平面上沒有極點，即 P ＝ 0。 解：由于系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)，需要從幅相曲線ω＝0＋ 對應(yīng)的點反時針方向補(bǔ)畫個半徑趨于無窮大的圓，如圖541中虛線部分。但圓隨增大的方向是順時針的。如果 Z ＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 以圖537所示的奈氏路徑進(jìn)行討論，則上述的奈奎斯特判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。 圖中 a 2 ，b 2 ，c 2 ，d 2 和 e 2 分別為奈氏路徑上 a ，b ， c，d 和 e 各點的象。 將式(583)代入上面 GK(s)中，對于Ⅱ型系統(tǒng)則有 (585)它是半徑為無窮大的圓。當(dāng) ′由變化到 時，由變化到，如圖538所示。頻率特性曲線及其鏡象在無窮遠(yuǎn)處的連接線就是奈氏路徑中半徑為無窮小的半圓在G (s)平面的象。并由以下四段線組成奈氏路徑： (i) 正虛軸 s ＝ jω ：頻率由0＋ 變化到＋∞； (ii) 半徑為無窮大的右半圓：R → ∞， 由 → ； (iii) 負(fù)虛軸 s ＝ jω：頻率由 －∞ 變化到 0－； (iv) 半徑為無窮小的右半圓：R ′→0，′由 c → ，如圖537。 上述奈氏路徑經(jīng)過原點，所以不能應(yīng)用幅角定理。Z ＝ P － R ＝0－(－2)＝2，Z≠0 ，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半 s 平面有2個根。 開環(huán)系統(tǒng)右半 s 平面的極點數(shù)為0。 解：繪出該系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖536所示，曲線起點在實軸P(0)＝ 處，終點在原點，用分析法可得ω＝，曲線與負(fù)虛軸相交，交點為－。需要指出：閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，特征方程有純虛根，奈氏曲線過臨界點，這時奈氏曲線繞臨界點反時針轉(zhuǎn)過圈數(shù) R 是不定的。 Z —— 輔助函數(shù)F (s)在右半 s 平面零點數(shù)；即閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點數(shù)。 于是，式(581)中R 、P 和 Z 如今分別具有如下含義： R—— 奈氏曲線〔即 s 沿虛軸 － j∞到 j∞取值，頻率特性GK ( jω)的幅相曲線〕繞臨界點(－1，j0 )反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；當(dāng)奈氏曲線反時針包圍 (－1，j0 )點時 R 取正，順時針包圍(－1，j0 )點時 R 取負(fù)。 鑒于輔助函數(shù)F (s)的第三個特點，F(xiàn) (s)曲線繞原點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) R 就是開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)曲線繞(－1，j0)點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。這樣的封閉曲線Γs 也叫奈氏路徑。圖535 s和F(s)的映射關(guān)系a) F(s)的極點零點分布和封閉曲線 b)F(s)曲線示意圖 幅角原理：如果封閉曲線Γs 內(nèi)有 Z 個F (s)的零點、P 個F (s)的極點，則 s 沿Γs 順時針轉(zhuǎn)一圈時，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線繞其原點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) R 為 P 和 Z 之差，即 (581)R 若為負(fù)，表示F (s)曲線繞原點順時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。 故= (580)式(580)表明，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線從 B 開始，繞其原點0順時針方向轉(zhuǎn)一圈。若 s 沿Γs 變化時，F(xiàn) (s)相角的變化為，則由方程(578)可得 (579)式中 ( i ＝ 1，2，… , n) 表示 s 沿Γs 變化時，向量相角的變化； ( j＝1，2，… ，n )的含義類似。若在 F (s) 的極點零點分布圖535 a上選擇 A 點，使 s 從 A 開始，繞 F (s) 的某零點 zi 順時針沿封閉曲線Γs (Γs 不包圍也不通過任何極點和其它零點)轉(zhuǎn)一周回到 A 。 由上可知，輔助函數(shù)F (s)具有如下特點：第一，其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；第二，零點和極點個數(shù)相同；第三，F(xiàn) (s)和G (s)H (s)只差常數(shù)1。 ①．輔助函數(shù)F (s) 研究圖534所示系統(tǒng)。奈氏判據(jù)不僅能判別閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且根據(jù)相對穩(wěn)定性的概念，它還可用于討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能及指出改善系統(tǒng)性能指標(biāo)的途徑，成為設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。奈氏判據(jù)與勞斯判據(jù)不同，它是根據(jù)開環(huán)幅相曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法。類似的分析得知，7是一階微分環(huán)節(jié)交接頻率。又ω 為1時最左端直線的縱坐標(biāo)為15dB，由式(588)可求得比例環(huán)節(jié) K ＝。試寫出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。因此，對于最小相位系統(tǒng)，只要根據(jù)對數(shù)幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖532 對應(yīng)的相頻特性曲線 兩者幅頻特性相同而相頻特性卻不同，且 參見圖532。 如果兩個系統(tǒng)有相同的幅頻特性，那么對大于零的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角位移總小于非最小相位系統(tǒng)的相角位移。 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面無零、極點，稱為最小相位系統(tǒng)。可以證明。 該系統(tǒng) m ＝0，n ＝ 3 ，故特性曲線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點。顯然當(dāng)ω→0時，G( jω) 的漸近線是一條過實軸上點，且平行于虛軸的直線，即幅相曲線起始于負(fù)虛軸方向的無窮遠(yuǎn)處，它的漸近線是。 解： 經(jīng)分母有理化可得 （571） （572） 幅頻特性和相頻特性為 （573） （574） 這是Ⅰ型系統(tǒng)。表530∞00 0在G(s)平面上繪出幅相頻率特性曲線如圖530所示。 2. 終點 當(dāng)ω → ∞ 時，P(∞)＝ 0 ，Q(∞)＝0， A(∞)＝ 0 ，＝ －180176。 例51 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試?yán)L出系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。 利用上述特點就可較快地大致畫出幅相特性的圖形，如果局部需要更精細(xì)些，則可再確定若干個點來畫。用此ω 值求得的Q(ω)，即可得曲線與虛軸的交點值。圖528 0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)幅相曲線的起點平面平面圖529 幅相曲線的終點 （3）開環(huán)幅相特性曲線與虛、實軸的交點：如果特性曲線轉(zhuǎn)過了幾個象限，它必定與實軸或虛軸有交點。同理任意 v 型系統(tǒng)的特性曲線，必由相位為 － v 90176。變化到 －(n－m)90176。) ?！?0176。但要注意，實際的起點可能在坐標(biāo)軸的任一邊，這要用求漸近線的方法來確定。圖528繪出0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)的幅相曲線低頻部分的一般形狀。對于Ⅰ型系統(tǒng)，當(dāng)ω →0時， ，或者由ω →0 ，A(0)→∞，可知曲線開始于負(fù)虛軸的無窮遠(yuǎn)處，此時的幅相特性如圖528所示。 對于0型系統(tǒng)，當(dāng)ω ＝ 0時，由式(565)可得 A(0)＝K，即幅值等于開環(huán)增益；而 ＝ 0176。 開環(huán)系統(tǒng)的幅頻、相頻特性表示如下 (566) 用不同ω 值代入式(565)、(566)就可以逐點描繪系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性。 系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制設(shè)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （564） 在式(564)中沒有二次因式表示，這并不影響以后的分析。圖527 延遲環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性167。因為對數(shù)相頻特性的橫坐標(biāo)是按logω劃分的。 延遲環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性 所以，對數(shù)幅頻特性為0分貝線。對數(shù)頻率特性如圖525所示。對數(shù)頻率特性如圖523所示。平面圖520 純微分環(huán)節(jié)的幅相曲線純微分環(huán)節(jié)的幅相曲線和對數(shù)頻率特性分別如圖520和圖521所示。在低頻段，相頻特性也可用下列近似公式 當(dāng) ω＜ （551）漸近線圖518 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性a)對數(shù)幅頻特性b)對數(shù)相頻特性 圖519 振蕩環(huán)節(jié)的曲線當(dāng)T ＞ （552）、微分環(huán)節(jié)的頻率特性根據(jù)各種微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，可以寫出它們的頻率特性。；當(dāng)時，＝－90176。不同值下，分段直線的近似表示和準(zhǔn)確曲線的誤差繪于圖519中。 圖518 a繪出了以相對頻率ωT為橫坐標(biāo)的振蕩環(huán)節(jié)的漸近線和按式(548)得到的準(zhǔn)確曲線?？捎眠@兩條漸近線組成的分段直線近似表示振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。當(dāng) 時，將式 (546)代入式(544)可得幅頻特性的諧振峰值為 (547)圖517 振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性平面圖516 振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線 2. 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線 振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性為 （548） 在低頻段，當(dāng)時，即時 （549） 在高頻段，當(dāng)時，即時 （550）式(549) 表示一條和橫坐標(biāo)軸相重合的直線(即零dB線)，稱為振蕩環(huán)節(jié)的低頻漸近線。ωP稱為諧振頻率或峰值頻率。這一特點，在繪制振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線時應(yīng)予以注意。 圖517繪出了以相對頻率為橫坐標(biāo)的幅頻特性曲線。值愈小，虛軸上的交點離原點愈遠(yuǎn)，當(dāng)ω → ∞時，A(ω)→0，→ －180176。曲線形狀和值有關(guān)，如圖516所示。以代替 s 可得振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性。圖515 慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線 慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性為 （539）表52給出了ω /ω0為不同值時的值，根據(jù)表52可繪出慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，如圖514 b所示。 當(dāng) 時 （537） 當(dāng) 時（538）顯然，最大誤差發(fā)生在交接頻率處，最大誤差為對數(shù)幅頻特性的交接頻率與 T 有關(guān)，但對數(shù)幅頻特性的形狀是不變的。可用這兩條漸近線組成的分段直線近似表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。當(dāng)ω→∞時，對數(shù)幅頻特性曲線趨于高頻漸近線。如圖514所示。在低頻段，ω 很小，當(dāng)時，對數(shù)幅頻特性可以近似為 (535) 這是一條縱坐標(biāo)分貝值為20 log K，平行于橫軸的直線，稱為低頻漸近線。 2. 對數(shù)頻率特性曲線 慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性為 (534) 當(dāng)ω 由0到 ∞ 取值時，計算出相應(yīng)的對數(shù)幅值，即可繪制對數(shù)幅頻特性曲線。證明如下：平面圖513 慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線 用式(528)除以式(527)可得 （531） 將式(531)代入式(527)，則有即 (532) 最后整理得 (533) 顯然，在 P Q 的直角坐標(biāo)平面上，慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線是圓心為 ,半徑為，位于第Ⅳ象限的半圓。 1. 幅相特性曲線 對于任一給定頻率ω，可由上列公式計算出相應(yīng)的和或和，從而得到復(fù)平面上的一個點，當(dāng)ω 由0 ～∞ 時，則可得到一條曲線，如圖513所示。積分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率圖512 積分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性a)對數(shù)幅頻特性b)對數(shù)相頻特性特性如圖512所示。－20dB/dec 是直線的斜率。頻率ω 從0 ～∞時，特性曲線由虛軸的 －j∞ 處趨向原點。 頻率特性  （514） 由此可得比例環(huán)節(jié)的 實頻特性 （515） 虛頻特性 （516） 幅頻特性 （517）