信號與線性系統(tǒng)分析(編輯修改稿)
2025-08-28 15:38 本頁面
【文章內容簡介】 ?2,1特征根 單實根 重實根 齊次解 ?)c o s (]s i nc o s[??????kApkDkcpkk或不同特征根所對應的齊次解 r。已知邊界條件－次解：求下示差分方程的齊例1)5(,1)3(,0)2(,1)1(0)4()3(2)2(2)1(2)(2????????????yyyykykykykyky0110122222234????????)()( ??????解：特征方程：)(,)(14321共軛復根重根特征根jj ?????????)(,)2s i n ()2c o s ()()()1)(()(4343212423214321ccjQccPkQkPckcececckcjcjcckckyjkjkkkk???????????????????????利用邊界條件得QccyQccyPccyQccy????????????????212121215)5(13)3(12)2(0)1(10,1,1,0 21 ???? QPcc求解得)c o s ()( 21 ?kky ??故例 1： 求下列差分方程的完全解 )1()()1(2)( ????? kxkxkyky其中激勵函數(shù) ， 且已知 2)( kkx ? 1)1( ???y 解： 特征方程： 02 ??? 2???齊次通解： kc )2(?將 代入方程右端， 得 )(kx三、 特解 1 2 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? k k k k x k x 設特解為 形式， 代入方程得 21 DkD ?12])1([2 221 1 ?????? KDkDDkD比較兩邊系數(shù)得 ???????12323121DDD 解得 321 ?D 912 ?D完全解為 9132)2()( ???? kcky k代入邊界條件 ， 求 1)1( ???y c91)1(32)2(1 1 ??????? ?c98?c得 9132)2(98)( ???? kky k一般情況不同激勵所對應的特解 激勵 特解 )(kf)(kymk][ 01110111pkpkpkpkpkpkpkpmmmmrmmmm??????????? ?kakkkrrkrrkkkapkapakpakpapkappa011101??????? ?特征根 1? r重等于 1的特征根 特征根 特征單根 ?a?ara ? 重特征根 例 2： 描述一個線性時不變離散時間系統(tǒng)的差分方程為 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 2 ky k y k y k k?? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 2yy??且初始狀態(tài) ，求系統(tǒng)的響應。 解：特征方程 2 2 1 0??? ? ? 特征根為 1,2 1? ?由此可得出齊次解的形式為 10()hy k C k C??根據(jù)激勵函數(shù)的形式及齊次方程的特征根，確定特解的形式。 當激勵 ? ? ? ?2 kf k k?? 時， 特解為 ? ?( ) 2 kpy k p?將特解代入原差分方程，得 ? ? ? ? ? ?122 2 2 2 2k k k kp p p??? ? ?通過平衡方程兩邊系數(shù)，求出特解的系數(shù) 4p? ，得出特解 ? ?( ) 4 2 kpyk ?從而系統(tǒng)的全解 ? ?10( ) ( ) ( ) 4 2khpy k y k y k C k C? ? ? ? ?將系統(tǒng)的初始狀態(tài)代入方程的全解，即 ? ?? ? ? ?01100 4 21 4 2 2yCy C C? ? ?? ? ? ?從而求出齊次解的系數(shù)為 012 , 4CC? ? ? ?則系統(tǒng)的響應就是方程的全解，即 ? ?( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 , 0khpy k y k y k k k? ? ? ? ? ? ?與連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析類似，離散時間系統(tǒng)響應中，齊次解的形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特征，而與激勵信號的形式無關，因此在系統(tǒng)分析中 齊次解 常稱為系統(tǒng)的
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