【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。 位移邊界條件 167。 2－ 6 邊界條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑵ 若為簡(jiǎn)單的 固定邊 ， 則有 位移邊界條件的說(shuō)明： sus,0?? vu,0)( ,0)( ?? ss vu us（ 在 上）。（ b） ⑶ 它是 在邊界上 物體保持連續(xù)性的條 件，或 位移保持連續(xù)性的條件 。 ⑴ 它是 函數(shù)方程 ，要求在 上每一點(diǎn) ， 位移與對(duì)應(yīng)的約束位移相等。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 在167。 2－ 3 中，通過三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式， 應(yīng)力邊界條件 (Stress boundary conditions)－－ 設(shè)在 上給定了面力分量 , , xyyyyxxx lm σpml σp ?? ????).( ),( sfsf yx?s（在 A中）。（ c） 應(yīng)力邊界條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得 應(yīng)力邊界條件 : ( ) ( ) , . ( d )( ) ( ) ,x y x s xσy x y s yl σ m f ssm σ l f s????? ???? ??（在 上）第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑴ 它是邊界上微分體的靜力平衡條件； 說(shuō)明 應(yīng)力邊界條件的說(shuō)明： ⑶ 在 A中每一點(diǎn)均成立 . ⑵ 它是 函數(shù)方程 ，要求在邊界上每一點(diǎn) s 上均滿足，這是精確的條件； ( ) ( ) , . ( d )( ) ( ) ,x y x s xσy x y s yl σ m f s sm σ l f s????? ??????（在 上）, , xyyyyxxx lm σpml σp ?? ????只能在邊界 s上成立 . 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 (5) 所有邊界均應(yīng)滿足，無(wú)面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 (4)位移 ,應(yīng)力邊界條件均為每個(gè)邊界兩 個(gè)，分別表示 ， 向的條件； ,0?? yx ffx y說(shuō)明 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 若 x=a為正 x 面， l = 1, m = 0, 則式 (d)成為 ( ) , ( ) . ( e )xax x a x x y yσ f f? ?? ??當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時(shí) ， 坐標(biāo)面 yxb axfyfxσ xfyfxy?xσxy?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 若 x=b為負(fù) x 面， l = 1, m = 0 , 則式 (d)成為 ( ) , ( ) . ( f )xbx x b x x y yσ f f? ???? ? ? ? ?yxb axfyfxσxfyfxy?xσxy?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式： 兩種表達(dá)式 ⑵ 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對(duì) 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。 即在同一邊界面上 ,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值 (給定 ),應(yīng)力方向應(yīng)同面 力方向 (給定 )。 ⑴ 在邊界點(diǎn)取出微分體，考慮其平衡條 件 ，得式（ d） 或（ e） ，（ f ）； 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 lh/2h/2qyxoyσyx?xy?yσyx?xσ例 1 列出邊界條件： 1q第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 0 ( ) 0 ( ) 0 .x 0 x 0x , u , v??? ? ? ? ?邊界( ) 0 , ( ) 0 .x x l x y x lx l , στ??? ? ? ? ?邊界( ) ( ) 0 .y h y x hyy22xhy, σ q , τ2 l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?邊界1( ) 0 , ( ) .y h y x hyy22hy, σ τ q2??? ? ? ? ? ?邊界lh/2h/2qyxoyσyx?xy?xσyσyx?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 yxoqqqqbba a例 2 列出邊界條件： xy?yσyx?xσ第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。 b( ) 0 , ( ) 0 .y y y x y bybστ? ? ? ?????邊界：ax ?? xσ2( ) ( ) , ( ) 0 .x x a x y x axayσ q τb? ? ? ?????邊界：yxoqqqqbba axy?yσyx?xσ第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑴ 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件； 混合邊界條件 混合邊界條件 (Mixed boundary conditions)： ⑵ 同一邊界上，一個(gè)為位移邊界條件，另一個(gè)為應(yīng)力邊界條件。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 例 3 列出 的邊界條件： ax ?.0)(,0)(,?????axxyaxuax?yxo a第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 混合邊界條件 ( ) ,( ) .x y x s xy x y s ylσ m fm σ l f????? ??????( ) , ( ) . ssuuvv??( ) ,( ) .x y x s xy x y s ylσ m fm σ l f????? ??????( ) , ( ) . ssuuvv??平面問題的邊界條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ，受有常量的法向分布 壓力 作用，試列出應(yīng)力邊界條件， (圖（ a） )。 0A邊上， 不等 于零（圖 (b)）。 qyσoxy(c)(a)(d )(b )qxnyABAxyoAoxy(c)(a)(d )(b )qxnyABAxyoAyσM 思考題 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 A點(diǎn)附近，當(dāng)無(wú)面力作用 時(shí)，其應(yīng)力為零（圖 (c)）。 oxy(c)(a)(d )(b )qxnyABAxyoAg?oxy(c)(a)(d )(b )qxnyABAxyoA， AB邊界上的 之間的關(guān)系。（圖（ d））。 n xyyx σσ ?, ,第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 基本方程和邊界條件的異同，并進(jìn)一步 說(shuō)明它們的解答的異同。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 彈性力學(xué)問題是微分方程的邊值問題。應(yīng)力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足 A內(nèi)的方程和 S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 167。 2－ 7 圣維南原理及其應(yīng)用 圣維南原理 (Saintvenant’s principle)可用于簡(jiǎn)化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 圣維南 (1797～ 1886) 法國(guó)力學(xué)家。 1813年進(jìn)巴黎綜合工科學(xué)校求學(xué)， 1814年因政治原因被除名。 1823年法政府批準(zhǔn)他免試進(jìn) 橋梁公路 學(xué)校學(xué)習(xí)， 1825年畢業(yè)。后從事工程設(shè)計(jì)工作， 業(yè)余研究力學(xué)理論 。 1837年起在橋梁公路學(xué)校任教。 1868年被選為法國(guó)科學(xué)院院士。 圣維南主要研究彈性力學(xué)。 1855和 1856年求解柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲問題，求解運(yùn)用了這樣的思想 :如果柱體端部?jī)煞N外加載荷在靜力學(xué)上是等效的 ,則端部以外區(qū)域內(nèi)兩種情況中應(yīng)力場(chǎng)的差別甚微 。 1885年把這個(gè)思想加以推廣，并稱之為 圣維南原理 。 在流體力學(xué)方面，圣維南在 1843年發(fā)表的 《 流體動(dòng)力學(xué)研究 》中列出粘性不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)基本方程，而 果則是 1845年發(fā)表的。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 如果把物體的 一小部分邊界 上的面力，變換為分布不同但 靜力等效的面力 （主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同）， 那么， 近處 的應(yīng)力分量將有顯著的改變， 但 遠(yuǎn)處 所受的影響可以不計(jì)。 圣維南原理 圣維南原理： 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 圣維南原理 一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）； 圣維南原理的說(shuō)明： ─ 指 “ 近處 ” 之外。 ─ 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域； ─ 指兩者主矢量相同，對(duì) 同一點(diǎn)主矩也相同； 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 圣維南原理 圣維南原理表明，在 小邊界 上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響 近處（局部區(qū)域） 的應(yīng)力，對(duì)絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒有明顯影響。 圣維南原理推廣： 如果物體一小部分邊界上的面力是 一個(gè)平衡力系 (Balanced system)（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 例 1 比較下列問題的應(yīng)力解答： hFF/2 F/2F/2 F/2FF/b3465421321 )(σσσσσσσσσσbh???????? 654321σσσσσσ4321 σσσσb 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 例 2 比較下列問題的應(yīng)力解答： 推廣 0 0 0 03412????σσσσ 0?σ 02?σ 01?σ第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 圣維南原理的應(yīng)用： ； 。 應(yīng)用 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用： lx ?⑴ 精確的應(yīng)力邊界條件 如圖，考慮 小邊界， 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。 。)(),(),(),(yfyxyfyxσylxxyxlxx?????(a) 在邊界 上， lx?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 在小邊界 x=l上，用下列條件代替式 (a) 的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量 = 面力的主矢量（給定 )。 應(yīng)力的主矩 (M) = 面力的主矩（給定） . ),( yx FF數(shù)值相等 , 方向一致 . (b) ⑵圣維南原理 的應(yīng)用 ─ 積分的應(yīng)力邊界條件 右端面力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量，主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負(fù)號(hào)。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 具體列出 3個(gè)積分的條件： )(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)(2/2/2/