【正文】 yvxulE??????s?應(yīng)力邊界條件 ─ 將式 (217)代入應(yīng)力邊界條件 ， ⑷ 在 S上的邊界條件 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 按位移求解時(shí)， ， 必須滿足 A內(nèi)的方程 (218)和邊界條件 (214)， (219)。 u vu vuv歸納： 式 (218)， (214)， (219)－－是求解 ， 的條件 。也是校核 ， 是否正確的全部條件。 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)： 求函數(shù)式解答困難， 但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用 。 適用性廣 ─ 可適用于任何邊界條件。 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 例 1 考慮兩端固定的一維桿件。只受重力作用， 。試用位移法求解。 gff yx ??? ,0xoyloyxg?解： 為了簡(jiǎn)化，設(shè) 位移 按位移求解，位移應(yīng)滿足式 (218),(214),(219)。 代入式 (218),第一式自然滿足，第二式成為 ,0??).(,0 yvvu ??.2222Egdyvdyv ??????第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 均屬于位移邊界條件，代入 ， .2 2 BAyyEgv ???? ?ly ,0?0( ) 0 ,yv ? ? 0。B ?v得 得 ( ) 0 ,ylv ? ? .2gAlE??解出 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 ).2(2),2(2),(22ylgσylEgylyEgvyy??????????在 處， 2ly? .0?yσ代入 ，并求出形變和應(yīng)力， v第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 例 2 厚度 懸臂梁，受一端的集中力 F的作用。已求得其位移的解答是 試檢查此組位移是否是圖示問(wèn)題的解答。 1??。EIFlEIF x lEIFxEIF x yvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332???????????? h/2 h/2 A x y l F O )1,( ??? ?hl第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 （ 2）應(yīng)力邊界條件（書(shū)中式 2－ 19），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應(yīng)用 圣維南原理 ，用 3個(gè)積 分的邊界條件來(lái)代替。 （ 3）位移邊界條件（書(shū)中式 2－ 14）。本 題在 x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使 3個(gè)積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。 σS(1) 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 (書(shū)中式 2－ 18） 。 解： 此組位移解答若為圖示問(wèn)題的解答，則應(yīng)滿足下列條件 : 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 因此，只需校核下列三個(gè)剛體的約束條件： A點(diǎn)（ x = l及 y = 0）， .0)xv,v,u( ??? 讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問(wèn)題之解。 h/2 h/2 A x y l F O )1,( ??? ?hl第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 思考題 試用位移法求解下圖的位移和應(yīng)力。 xoyloyx.2 2 BAyyEgv ???? ?g?第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 在一剛性盒體 B內(nèi)有一彈性體，受到作用于剛性板 A上的力的作用，設(shè) A均勻的下移距離為 c，求彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布（不計(jì)體力和彈性體與盒壁的摩擦力）。 xyBabA第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 （ 1）取 為基本未知函數(shù)； 基本方程 xyyx σσ ?,167。 2－ 9 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程 （ 2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來(lái)表示 : 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 位移用形變 ─ 應(yīng)力表示， 須通過(guò)積分，不僅表達(dá)式較復(fù)雜，而且包含積分帶來(lái)的未知項(xiàng) ，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來(lái)表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。故 在按應(yīng)力求解時(shí) ，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題 ,即 。 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。 )0,( ?? uσ sss按應(yīng)力求解 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 ⑶ 在 A內(nèi)求解應(yīng)力的方程 補(bǔ)充方程 ─ 從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 。 平衡微分方程 （ 2個(gè)）。 假定位移不僅連續(xù)，而且三階 連續(xù)可導(dǎo) 三個(gè)幾何方程，消去兩個(gè)位移變量，剩下一個(gè)獨(dú)立的方程 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 .22222yxxyxyyx????????? ???vu(220) 從幾何方程中消去位移 ， ，得 相容方程（ Compatibility equation）（形變協(xié)調(diào)條件） ： 23 3 222xyu v u vx y y x x y y x x y????? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???2 322x uy y x?? ??? ? ?2 322y vx x y?? ??? ? ?第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 利用物理方程方程將應(yīng)變分量消去，相容方程將只包含應(yīng)力分量 對(duì)平面應(yīng)力問(wèn)題 2 2 222( ) ( ) 2 ( 1 )x y y xy x x y?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?利用平衡方程，可得 22 2222x y y yxx ffx y x y x y?? ?? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?代入上式 2 ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 2 1 )yxxyffxy? ? ???? ? ? ? ? ? ???第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題 2 1( ) ( ) ( 2 2 2 )1yxxyffxy?????? ? ? ? ? ?? ? ?2 ,11EE ????????22222xy??? ? ??? 拉普拉斯算子 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 (4) 應(yīng)力邊界條件－－假定 全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件 。 )0,( ?? uσ sss 位移邊界條件一般無(wú)法用應(yīng)力分量表達(dá)出來(lái) ，按應(yīng)力求解的方法，一般適用于求解 只有應(yīng)力邊界 的問(wèn)題 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 （ 1） A內(nèi)的 平衡微分方程 ； （ 2） A內(nèi)的 相容方程 ； （ 3）邊界 上的 應(yīng)力邊界條件 ； （ 4）對(duì)于 多連體 (Multiply connected body)，還須滿足 位移的單值條件 （見(jiàn)第四章）。 歸納 ： xyyx σσ ?,σss ? （ 1） （ 4）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件 。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題 ， 應(yīng)力 必須滿足下列條件 ： 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 單連體（ Simply connected body） 在物體內(nèi)所作的任何一根閉合曲線，都可以使它在物體內(nèi)不斷收縮而趨于一點(diǎn)。 多連體 (Multiply connected body)不具備上述幾何性質(zhì)的物體。 單連體 多連體 單連體 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 （相容方程）的物理意義 形變協(xié)調(diào) → 對(duì)應(yīng)的位移存在 → 位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào) → 對(duì)應(yīng)的位移不存在 → 不是物體實(shí)際存在的形變 → 微分體變形后不保持連續(xù)。 ⑵ 形變協(xié)調(diào)條件是與形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。 ⑴ 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體 → 位移連續(xù) → 幾何方程 → 形變協(xié)調(diào)條件。 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 點(diǎn)共點(diǎn)（連續(xù)），變形后三連桿在 點(diǎn)共點(diǎn)，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。 例 1 三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在 D D?② ③ ①FDD?第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 。C x ycC x yyBxAybDyCByA x yaxyyxxyyxxyyx??????????????????? ,0 )(。 , , )(。 , , )(2223例 2 試考慮下列平面問(wèn)題的應(yīng)變分量是否可能存在 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 解： 應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （ a） 相容； （ b） 須滿足 B = 0, 2A=C ； （ c） 不相容。只有 C = 0， 則 .22222yxxyxyyx????????? ???第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 2 2 2 2( ) , , 。( ) ( ) , ( ) , 。x y x yx y x ya σ A x B y σ Cx D y E x F yb σ A x y σ B x y Cx y??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?例 3 在無(wú)體力情況下，試考慮下列應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在： 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 解 ：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須 滿足： （ 1）平衡微分方程； （ 2）相容方程； （ 3）應(yīng)力邊界條件（當(dāng) ）。 σSS ?第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 （ a） 此組應(yīng)力滿足相容方程。為了滿足平 衡微分方程，必須 A=F, D=，還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。 （ b） 為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足 A + B = 0。 為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須 滿足 A = B =C/2。 上兩式是矛盾的，因此此組應(yīng)力分量 不可能存在。 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作 比較。 是否可能 成為彈性體中的形變？ 是否 可能為彈性體中的應(yīng)力？ ,)(, 22 xybabxay xyyx ???? ???,0,0 22 ????? xyyxyx byσaxσff ?思考題 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 ⑴ 相容方程 (A) (a) 0)(2 ??? yx σσ0,0 ?????????????? yxyyxyxx fxyσfyxσ ?? (A) (b) ⑵ 平衡微分方程 按應(yīng)力函數(shù)求解 167。 2－ 10 常體力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù) 2 ( ) ( 1 ) ( )yxxyffxy? ? ???? ? ? ? ? ???第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 ⑶ 應(yīng)力邊界條件 ?ss ?.)(,)( ysxyyxsyxx flm σfml σ ???? ?? (S) (c) )0,( ?? usss ?⑷ 多連體中的位移單值條件。 (d) 第二章 平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題 在⑴ ⑶條件下求解 的全部條件 (a)， (b)， (c)中均不