平面解析幾何(編輯修改稿)
2025-09-11 23:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 這也是切線一詞的直覺意義。 但這樣的認(rèn)識(shí)涉及到極限，對中學(xué)生不太適用。一個(gè)現(xiàn)實(shí)可行的選擇方案是推廣與圓切線判定相關(guān)的結(jié)論。 橢圓是圓的仿射圖形，而雙曲線和拋物線又是前兩者的射影圖形。直線與圓之間的切線關(guān)系又是一個(gè)仿射性質(zhì)。因此，推廣圓切線命題到圓錐曲線涉及圖形的度量性質(zhì)、仿射性質(zhì)、射影性質(zhì)以及三者之間的關(guān)系。 判斷直線是否為圓的切線一般有兩種辦法：一是與過切點(diǎn)的半徑垂直；二是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)。 前者涉及到角度，是一個(gè)度量性質(zhì)，只為圓所獨(dú)有，這種切線判定方法不能推廣到圓的仿射圖形 —— 橢圓。 后者涉及到點(diǎn)與線之間的連結(jié)關(guān)系，是一個(gè)仿射性質(zhì)，因此自然可以推廣到圓的仿射圖形 —— 橢圓。但它是否可推廣到雙曲線和拋物線的情形呢？ 雙曲線和拋物線是圓和橢圓的射影圖形，而點(diǎn)與線的連結(jié)又是一個(gè)射影不變量，因此采用交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷直線是否為切線，總體思路是可行的。 但問題在于，射影平面包含有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。這樣就可能出現(xiàn)如下情形：直線與圓錐曲線在歐氏平面內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，在射影平面內(nèi)卻可能有兩個(gè)交點(diǎn)(另一個(gè)交點(diǎn)是無窮遠(yuǎn)點(diǎn) )。 怎樣避免這種情況發(fā)生呢？解決辦法是加上“重合”兩字。即，圓的切線是與圓有兩個(gè)重合交點(diǎn)的直線。 這個(gè)定義可以推廣到一般圓錐曲線。 如何看待解析幾何成為教學(xué)難點(diǎn)？ 數(shù)學(xué)教育近些年的一個(gè)重要變化是，解析幾何成為了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。如何看待這一變化？ 其實(shí)，不管是從研究內(nèi)容還是研究方法來看，解析幾何都不應(yīng)該成為教學(xué)難點(diǎn)。 從研究內(nèi)容看，解析幾何中的幾何結(jié)論不超過平面幾何的范圍。 高中生學(xué)習(xí)解析幾何的主要任務(wù)就是學(xué)會(huì)代數(shù)語言與幾何語言之間的轉(zhuǎn)換，包括：如何將幾何對象代數(shù)化、如何將幾何概念代數(shù)化、如何賦予代數(shù)結(jié)論以幾何意義。即，學(xué)習(xí)解析幾何就是學(xué)習(xí)用另一種方法研究已熟知的幾何知識(shí)。 解析幾何沒有新的知識(shí)內(nèi)容，只有新的思想觀念和方法。 從研究方法看，解析幾何是用解析法研究幾何。 解析法求解幾何問題主要有四個(gè)步驟：第一步，建立恰當(dāng)坐標(biāo)系。第二步，確定有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程。第三步，利用有關(guān)幾何概念的意義、解析幾何公式進(jìn)行計(jì)算。第四步，推斷相應(yīng)幾何結(jié)論。 解析法整體思路上可以算法化，是一個(gè)半算法化的代數(shù)方法，易于學(xué)習(xí)。 我們認(rèn)為，解析幾何成為教學(xué)難點(diǎn)原因主要有二： ☆代數(shù)基本計(jì)算技能和技巧訓(xùn)練不夠。 ☆幾何基本概念的理解和直覺形成有所欠缺。 這些恐怕都要?dú)w因于初中教學(xué)要求的降低。 數(shù)學(xué)中很多知識(shí)和方法 (如因式分解 )，由于它的基本重要性，不是想刪除就可以刪除，想降低要求就是可以降低要求，想減少訓(xùn)練就可以減少訓(xùn)練的。數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革應(yīng)追求：“刪繁就簡三秋樹，領(lǐng)異標(biāo)新二月花” (鄭板橋 ) 錯(cuò)例辨析 m∈ R, 直線 l1: mxy=0, l2: x+my2m1=0的交點(diǎn)為 P, 求 P點(diǎn)的軌跡方程 . 辨析 ： 直線 l1, l2不能相交于點(diǎn) B(0 ,2),因?yàn)榇藭r(shí) l1為直線 x=0, l2為直線 y=2, 這是不可能的 .因此 P點(diǎn)的軌跡方程為 x2+y2x2y=0(除去點(diǎn) (0,2)) . 解：很 顯然， 兩 直線相互垂直。又因?yàn)橹本€ l1過定點(diǎn) O(0,0), 直線 l2過定點(diǎn) A(1,2), 所以點(diǎn) P的軌跡是以 OA為直徑的圓。由圓的直徑式方程知，點(diǎn) P的軌跡方程為 x(x1)+y(y2)=0, 即 x2+y2 x2y=0. 解：設(shè) 兩圓 的交點(diǎn)為 A, B, 它們的坐標(biāo)均滿足 方程 (x2)2+y2=1, (x+2)2+y2= , x= A, B兩 點(diǎn)均滿足直線方程 x=為兩點(diǎn)決定一條直線，所以所求 公共弦的方程就是 x=0. 辨析： 兩圓相離，所求公共弦并不存在 。 2. 求兩圓 C1: (x2)2+y2=1與 C2: (x+2)2+y2=1的公共弦的方程。 F1(1,0), F2 (1,0), P是橢圓上一點(diǎn) , 且 PF1⊥ PF2, |PF1||PF2| =8, 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：由 P是橢圓上一點(diǎn)，知 |PF1|+|PF2| =2a 兩邊平方，得 |PF1|2+|PF2|2 +2|PF1||PF2|=4a2 又由 PF1⊥ PF2, 知 |PF1|2+|PF2|2 =|F1F2|2=4c2 兩式相減，得 b2=4 又 c2=|F1F2|2/4=1, 所以 a2=b2+c2=5. 故所求 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 為 x2/5+y2/4=1或 x2/4+y2/5=1. 辨析： 題設(shè)條件自相矛盾。事實(shí)上，方程組 |PF1||PF2| =8, |PF1|+|PF2| =2 無解。考慮如何修改？ 54. 求以 P(1,1)為中點(diǎn)的雙曲線 x2y2/2=1的弦所在的直線方程。 解法一：設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為 A1(a,b), A2(c,d), 則有 a+c=2, b+d=2 a2b2/2=1, c2d2/2=1 后兩式相減，得 a2c2(b2d2)/2=0 從而 (bd)/(ac)=2(a+c)/(b+d)=2 故所求直線方程為 y1=2(x1), 即 y =2x1. 解法二：顯然，所求直線不可能平行 y軸。因此，設(shè)直線方程為 y1=k(x1), 將之代入x2y2/2=1中，消去
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