排列與組合的綜合問題(編輯修改稿)
2024-09-11 23:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＝ 6 0 ( 種 ) ． ( 2 ) 由 ( 1 ) 知，分成三堆的方法有 C16C25C33種，而每種分組方法僅對應(yīng)一種分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦為 C16C25C33＝ 6 0 ( 種 ) ． ( 3 ) 由 ( 1 ) 知，分成三堆的方法有 C16C25C33種，但每一種分組方法又有 A33種不同的分配方案，故一人得一本，一人得兩本，一人得三本的分法有 C16C25C33A33＝ 3 6 0 ( 種 ) ． ( 4 ) 把 6 本不同的書分成三堆，每堆二本與把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人二本的區(qū)別在于，后者相當(dāng)于把六本不同的書，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆書分給甲、乙、丙三個(gè)人，因此，設(shè)把六本不同的書，平均分成三堆的方法有 x 種，那么把 6 本不同的書分給甲、乙、丙三人每人 2 本的分法就應(yīng)有 x A33 種． 而 6 本書分給甲、乙、丙三人每人 2 本的分法可以理解為： 三個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來取書，甲從 6 本不同的書 本中任取出 2 本的方法有 C26種，甲不論用哪一種方法取得 2 本書后，乙再從余下的 4 本書中取書有 C24種方法，而甲、乙不論用哪一種方法各取 2 本書后，丙從余下的兩本中取兩本書，有C22種方法，所以一共有 C26C24C22＝ 90( 種 ) 方法．所以 x A33＝ C26C24C22＝ 90 ， x ＝ 1 5 . ( 5 ) 由 4 知平均分給甲、乙、丙三人有 90 種方法． [ 評析 ] 6 本書分給甲、乙、丙三人各兩本和分成三堆，每堆兩本是有區(qū)別的，前者雖然也屬于平均分組問題，但需甲、乙、丙三個(gè)人一個(gè)人一個(gè)人的去拿，而后者又是分組問題，它與次序無關(guān)，所以要除以 A33 .一般地， n 個(gè)元素中有n 1 ( n 1 ≤ n ) 個(gè)元素，平均分成 m 組要除以 Amm . 練 3 有 4 個(gè)不同的球， 4 個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)： ( 1 ) 共有幾種放法？ ( 2 ) 恰有 1 個(gè)空盒，有幾種放法？ ( 3 ) 恰有 2 個(gè)盒子不放球，有幾種放法？ [ 解 ] 此題關(guān)鍵是第 ( 2 ) 問，恰有 1 個(gè)空盒相當(dāng)于一定有2 個(gè)小球放在同一個(gè)盒子中，因此，先從 4 個(gè)不同的小球中取出 2 個(gè)放在一起 ( 作為一個(gè)整體 ) ，是組合問題．又因?yàn)?4個(gè)盒子中只有 1 個(gè)是空的，所以另外 3 個(gè)盒子中分別放入 2個(gè)， 1 個(gè)， 1 個(gè)小球，是排列問題． ( 1 ) 由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有 44＝ 256 種放法； ( 2 ) 先從 4 個(gè)小球中取 2 個(gè)放在一起，有 C24種不同的取法，再把取出的兩個(gè)小球與另外 2 個(gè)小球看做三堆，并分別放入 4個(gè)盒子中的 3 個(gè)盒子里，有 A34種不同的放法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 C24A34＝ 144 種不同的放法； ( 3 ) 恰有 2 個(gè)盒子不放球，也就是把 4 個(gè)不同的小球只放入 2 個(gè)盒子中，有兩類放法：第一類， 1 個(gè)盒子放 3 個(gè)小球，1 個(gè)盒子放 1 個(gè)小球，先把小球分組，有 C34種，再放到 2 個(gè)小盒中有 A24種放法，共有 C34A24種放法；第二類， 2 個(gè)盒子中各放 2 個(gè)小球有 C24C24種放法，故恰有 2 個(gè)盒子不放球的方法共有 C34A24＋ C24C24＝ 84 種 . 排數(shù)問題 例 4 從 1 到 9 的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)和四個(gè)奇數(shù)，試問： ( 1 ) 能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？ ( 2 ) 上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？ ( 3 ) 在 ( 1 ) 中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？ ( 4 ) 在 ( 1 ) 中任意兩個(gè)偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？ [ 分 析 ] 排數(shù)問題和站隊(duì)問題是排列、組合中的兩類問題，其解決的思路相似，需考慮特殊元素、特殊位置，相鄰問題、不相鄰問題等的處理方法． [ 解 ] ( 1 ) 分步完成：第一步在 4 個(gè)偶數(shù)中取 3 個(gè)，可有C34 種情況；第二步在 5 個(gè)奇數(shù)中取 4 個(gè)，可有 C45 種情況；第三步 3 個(gè)偶數(shù)， 4 個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，可有 A77 種情況，所以符合題意的七位數(shù)有 C34 C45 A77 ＝ 1 0 0 8 0 0 ( 個(gè) ) ． ( 2 ) 上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起的有 C34C45A55A33＝ 1 4 4 0 0 ( 個(gè) ) ． ( 3 ) 上述七位數(shù)中， 3 個(gè)偶數(shù)排在一起， 4 個(gè)奇數(shù)也排在一起的有 C34C45A33A44A22＝ 5 7 6 0 ( 個(gè) ) ． ( 4 ) 上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把 4 奇數(shù)排好，再將 3 個(gè)偶數(shù)分別插入 5 個(gè)空檔，共有 C34C45A44A35＝ 2 8 8 0 0 ( 個(gè) ) [ 評析 ] 對于有限制條件的排列問題，?？煞植竭M(jìn)行，先組合后排列，即先取出元素后安排元素，這是分步計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用． 練 4 用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字， ( 1 ) 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？在這些三位數(shù)中，偶數(shù)有多少個(gè)？ ( 2 ) 可以組成多少個(gè)只含有 2 個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)？ [ 解 ] ( 1
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