淺析原函數存在性問題qqqq(編輯修改稿)
2024-09-03 10:41 本頁面
【文章內容簡介】 域上不存在原函數。(因其無介值性).，這個問題仍在討論中.，那么我們試想如果加個條件，是否就可以得出原函數存在的充要條件呢？ 若函數在上連續(xù)，那么函數在上有原函數的充分且必要條件為證明見參考文獻[3].第3章 函數的可積性與原函數存在性的聯系 若在區(qū)間上連續(xù)，則是在上的一個原函數.證明 對任意一個，且，有 因為在上連續(xù)，由積分中值定理得，存在（或）使 ，由在點連續(xù)及當時得 所以 即是在上的一個原函數.，它指出了連續(xù)函數必存在原函數，且其原函數可用變上限的定積分表示.對牛頓—萊布尼茲定理可得出： 若函數連續(xù)，則其定積分的計算可轉化為求被積函數的一個原函數在上下限處函數值的差.證明 已知是的原函數，. （為常數）令得 ，從而，再令得. 已知 求.解 由于是上的連續(xù)函數，當時，的一個原函數是，當，的一個原函數為，，滿足在處連續(xù)，所以是上的一個原函數， 已知 求.證明 是的一個原函數，但因在處不連續(xù)，能否使其適用范圍更廣一些呢？ 若在上可積且存在原函數，則.此定理的證明見參考文獻[4].，因此在上可積且存在原函數，. 這也說明了不連續(xù)的函數也可能存在原函數.，當在上黎曼可積且在上存在原函數時，？ 可積函數的原函數存在性問題討論這個問題之前，首先引進兩個引理：引理3 設函數 在 點的某鄰域 內連續(xù)，在 內可導若極限存在，則 也存在，且.引理 ：在區(qū)間上的導函數,，則要么滿足，要么滿足，左右極限都存在，但不相等。顯然都不滿足，所以不存在第一類間斷點。引理4 若為區(qū)間上單調函數,則的間斷點 必是第一類間斷點.證明 假設內某點間斷，由的單調性得和均存在，故為的第一類間斷點.可積函數分為以下三類：(1)若函數在上連續(xù)，則在上可積.(2)若函數是區(qū)間上只有有限個間斷點的有界函數，則在上可積.(3)若函數在上單調，則在上可積.對于第一類可積函數，由于在上連續(xù)，由原函數存在定理可得，必存在原函數，所以有以下定理： 第一類可積函數必有原函數.
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