愛因斯坦卷積流形的不存在性問題(編輯修改稿)
2025-02-04 23:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 V ( R1 ) ≤ 1 h ( R1 ) 成 立 . 定 理 3 設 M = B n f F m 是 帶 有非緊 完 備基 流 形 且 Ricci 平坦的愛 因 斯坦 卷 積流 形 ,若 卷 積函 數(shù) 有 界 , 即存 在 某正常數(shù) k 使得 1 . h ( R2 ) 對任意 r R0 , 令 R1 = 2 i r , R2 = 2 i + 1 r ,由 式 ( 5) 可 得 c 1 1 0 f ≤ k , (6) 且體 積 增長滿足式 (5) ,則 此 愛因斯坦 卷 積流形是 平 凡 4l n ( 1 + 2 i +1 r) ≤ h ( 2 i r) h ( 2 i +1 r) . ∞ 的 對 上 式 從 i = 0 到 i = ∞ 求 和 , 因 為 ∑ i = 0 2 定 理 2 和 定理 3 的 證明 1 4l n ( 1 + 2 i +1 r) → ∞ ,所以 對 任 意 r R0 , h ( r) = 0 ,這 我 們先來證 明 定理 2 . 定 理 2 的證明 因為 卷 積流形是 平 坦的愛因 斯 坦 流形 ,所以 由 定理 1 可 知 S B ( x) = m f 1Δ f . 上 式可以改 寫 成 Δ l n f = | Al n f | 2 m 1 S B ( x) . 對 上式兩邊 在 球 B ( p , R) 上 求積 分 ,利 用 Sto ke′ s 公式 可 得 暗示 了卷積 函 數(shù) f 必為常 數(shù) . 所 以 此愛 因 斯坦卷積 流 形 是 平凡 的 . 證 畢 . 在證明定理 3 之前 ,我們先 來 證明一個 引 理 . 從 引 理 1 的證明可 以 看出任何 愛 因斯坦卷 積 流形若基 流 形 是 非 緊流 形 , 則 愛因 斯 坦卷 積 流 形 上 的 Ricci 曲 率 是 非正 的 . 而 且引理 1 還 告訴 我 們 ,若卷 積 函數(shù) 有 界 ,體 積 增 長滿足式 (5) ,則 纖 維 流 形 F 上 的 Ricci 曲率 是 非 正 的 . ( Al n f , v) dσ = | Al n f | 2 d x 引 理 1 設 M = B n f F m 是 帶 有非 緊 完備基 流 形 ∫9B ( p , R) m 1 B ( p , R) S B ( x) d x , ∫ B ( p , R) 的 愛 因斯坦卷 積 流形 ,若卷積函 數(shù) 有界 ,即存在某 正 常 數(shù) k 使得 0 f ≤ k ,且 體 積增長 滿 足 式 ( 5) ,則 纖 維 其中 v 和 dσ分別表示 球 面 9B ( p , R) 上 的 單 位外 法 向 流形 F 上 的 Ricci 曲率 是 非正 的 . 量和 體 積元 素 . 由 式 (4) 可知 ∫ B ( p , R) | Al n f | d x ≤ ∫9B ( p , R) | Al n f | d . 證 明 因為 M 為愛 因 斯坦卷積 流 形 ,所以由 定 理 1 可知式 (1) 成 立 . 而 文 獻 [ 12 ] 中 定 理 5 告訴 我 們 ,若 式 (1) 中 的 λ 0 ,則 流 形 B 一 定是緊流 形 . 但 B 是 非 緊 流形 ,所 以 λ≤ 0 . 2 令 h ( R) = B ( p , R) σ | Al n f | 2 d x ,由 Schwa rz 不 等 因為 M 為 愛因斯坦 卷 積流形 ,所以由 定 理 1 可知 fΔ f + ( m
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