二次函數(shù)平行四邊形存在性問題例題(編輯修改稿)
2025-04-20 06:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 =0時(shí)，y=6，當(dāng)y=0時(shí)，x=8∴B（0，6），A（8，0）∴OB=6，OA=8，在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=10設(shè)C（a，0），∴OC=a∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得（8﹣a）2=a2+42解得a=3C（3，0）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，由題意，得解得：∴拋物線的解析式為：∴（2）由（1）的結(jié)論，得D（）∴DF=設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，則有解得直線BC的解析式為：y=﹣2x+6設(shè)存在點(diǎn)P使四邊形ODAP是平行四邊形，P（m，n）作PE⊥OA于E，HD交OA于F．∴∠PEO=∠AFD=90176。，PO=DA，PO∥DA∴∠POE=∠DAF∴△OPE≌△ADF∴PE=DF=n=∴=P（）當(dāng)x=時(shí)，y=﹣2+6=1≠∴點(diǎn)P不再直線BC上，即直線BC上不存在滿足條件的點(diǎn)P．（3）由題意得，平移后的解析式為：∴對稱軸為：x=2，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣當(dāng)y=0時(shí)，0=解得：∵F在N的左邊F（，0），E（0，﹣），N（，0）連接EF交x=2于Q，設(shè)EF的解析式為：y=kx+b，則有解得：∴EF的解析式為：y=﹣x﹣∴解得：∴Q（2，）． 4．（2016?深圳模擬）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，將∠OBA對折，使點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C．（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點(diǎn)為T，Q為線段BT上一點(diǎn)，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍．【解答】解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．（1分）∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，6），∴可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣8）．將x=0，y=6代入拋物線的解析式，得．（2分）∴過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為．（3分）（2）可得拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G．直線BC的解析式為y=﹣2x+）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6）．解法一：如圖，作OP∥AD交直線BC于點(diǎn)P，連接AP，作PM⊥x軸于點(diǎn)M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（5分）但此時(shí)，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P（6分）解法二：如圖，取OA的中點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)P，作PN⊥x軸于點(diǎn)N．則∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（5分）∵x=時(shí)，∴點(diǎn)P不在直線BC上．∴直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范圍是．（8分）當(dāng)Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點(diǎn)時(shí)，（如點(diǎn)K處），此時(shí)OK=AK，則|QA﹣QO|=0，當(dāng)Q在AH的延長線與直線BC交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)|QA﹣QO|最大，直線AH的解析式為：y=﹣x+6，直線BC的解析式為：y=﹣2x+6，聯(lián)立可得：交點(diǎn)為（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范圍是：0≤|QA﹣QO|≤4． 5．（2016?山西模擬）如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90176。，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，分別過點(diǎn)P，點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．（3）如果x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）因?yàn)镺A=4，AB=2，把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。，可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）；由圖可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax2+bx把（2，4），
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