數(shù)列中的存在性問題-經(jīng)典(教師)(編輯修改稿)
2025-04-21 02:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 時(shí)，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；綜上，當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。 16分 三個(gè)存在型變量不同的解題思路：這類問題的形式一般是，“是否存在不同的三項(xiàng)……，恰好成等差數(shù)列（或等比數(shù)列）”，不難看出，三個(gè)存在型變量均出現(xiàn)在下標(biāo)，這就等于給定了兩個(gè)隱含條件，其一，三個(gè)變量均為正整數(shù)，其二，三個(gè)變量互不相等。另外，一旦我們主動(dòng)去分析數(shù)列的單調(diào)性，那么我們就可以不妨設(shè)出這三個(gè)變量的一個(gè)大小順序。具體的，該類問題可以分成三類。其一，等差中找等比（無(wú)理有理找矛盾）例【揚(yáng)州2010三?！恳阎獢?shù)列滿足：（為常數(shù)），數(shù)列中。⑴求；⑵證明：數(shù)列為等差數(shù)列；⑶求證：數(shù)列中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，為有理數(shù)。解：⑴由已知，得。 ……… ……………………4分⑵，∴，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列?！?分⑶證明：由⑵知， ……………………………………………10分若三個(gè)不同的項(xiàng)成等比數(shù)列，、為非負(fù)整數(shù)，且，則，得， ……………………………12分若，則，得==，這與矛盾。 …………14分若，則，∵、為非負(fù)整數(shù)，∴是有理數(shù)?！?6分例等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．(1)解：由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)證明：由(1)得bn＝＝n＋.假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝≠r相矛盾．所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．其二，等比中找等差（化簡(jiǎn)成整式，通過等式兩邊同除公比的最小次方，進(jìn)而等式兩邊，一邊為公比的倍數(shù)，另一邊不是公比的倍數(shù)，矛盾）；例【無(wú)錫市2010年秋學(xué)期高三期末考試】 由部分自
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