立體幾何中的探索性問題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 D.(2)在線段PA上是否存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，∴AC⊥PD.(2)在線段PA上存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD，且＝.下面給出證明：∵AD＝3，BC＝1，∴在△PAD中，分別取PA，PD靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，BE，CF.∵＝＝，∴EF∥AD，且EF＝AD＝1.又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC＝EF，∴四邊形BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD.8．(10分)[2016河南中原名校聯(lián)考] 如圖所示，在四棱錐S 173。ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△SAD是等邊三角形，且SD＝2，BD＝2，AB＝2CD＝4.(1)證明：平面SBD⊥平面SAD. (2)若E是SC上的一點(diǎn)，當(dāng)E點(diǎn)位于線段SC上什么位置時(shí)，SA∥平面EBD？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(3)求四棱錐S173。ABCD的體積．解：(1)證明：∵△SAD是等邊三角形，∴AD＝SD＝2，又BD＝2，AB＝4，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD，又∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD.∴BD⊥平面SAD.又BD?平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAD.(2)當(dāng)E為SC的三等分點(diǎn)，即ES＝2CE時(shí)，結(jié)論成立．證明如下：連接AC交BD于點(diǎn)H，連接EH.∵CD∥AB，CD＝AB，∴＝＝，∴HE∥SA. 又SA?平面EBD，HE?平面EBD，∴SA∥平面EBD.(3)過S作SO⊥AD，交AD于點(diǎn)O.∵△SAD為等邊三角形，∴O為AD的中點(diǎn)，∴SO＝.易證得SO⊥平面ABCD，∴V四棱錐S 173。ABCD＝S梯形ABCDSO. ∵S梯形ABCD＝(2＋4)＝3，∴V四棱錐S 173。 ABCD＝3.二、探索垂直關(guān)系1．如圖所示，在三棱錐P 173。 ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是( )A．當(dāng)AE⊥PB時(shí)，△AEF一定為直角三角形B．當(dāng)AF⊥PC時(shí)，△AEF一定為直角三角形C．當(dāng)EF∥平面ABC時(shí)，△AEF一定為直角三角形D．當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí)，△AEF一定為直角三角形答案：B [解析] 已知PA⊥底面ABC，則PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，則BC⊥平面PAB，BC⊥AE.當(dāng)AE⊥PB時(shí)，又PB∩BC＝B，則AE⊥平面PBC，則AE⊥EF，A正確．當(dāng)EF∥平面ABC時(shí)，又EF?平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，則EF∥BC，故EF⊥平面PAB，則AE⊥EF，故C正確．當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí)，PC⊥AE，又
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