立體幾何中的探索性問題(參考版)
2025-03-28 06:43本頁面
【正文】 BCD，如圖(2)所示．(1)若M是FC的中點，求證：直線DM∥平面A1EF.(2)求證：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說明理由．解：(1)證明：在題圖(1)中，因為D，M分別為AC，F(xiàn)C的中點，所以DM是△ACF的中位線，所以DM∥EF，則在題圖(2)中，DM∥EF，又EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)證明：因為A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.又A1F?平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)直線A1B與直線CD不能垂直．理由如下：因為平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.因為A1B?平面A1BD，所以A1B⊥EF，又EF∥DM，所以A1B⊥⊥CD，因為A1B⊥DM，CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，所以A1B⊥BD，這與∠A1BD為銳角矛盾，所以假設不成立，所以直線A1B與直線CD不能垂直．。A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1的中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由．解析：(1)證明：連接A1B，則AB1⊥A1B，又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1，∴AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)證明：取AD中點G，連接FG，BG，則FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.又BF?平面BFG，∴AE⊥BF.(3)存在．取CC1中點P，即為所求．連接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.7．如圖(1)所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90176。A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點.(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)設M為線段C1C的中點，當?shù)谋戎禐槎嗌贂r，DF⊥平面D1MB？并說明理由．解析：(1)證明：∵E為線段AD1的中點，F(xiàn)為線段BD1的中點，∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.(2)當＝時，DF⊥平面D1MB.∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥平面ABC，∴D1D⊥AC.∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥DF.∵F，M分別是BD1，CC1的中點，∴FM∥AC.∴DF⊥FM.∵D1D＝AD，∴D1D＝BD.∴矩形D1DBB1為正
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