圓錐曲線中的探索性問題(參考版)
2025-07-28 00:14本頁面
【正文】 (x－1)使△BFM與△BFN的面積比值為2.。山東)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的長軸長為4，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m＞0)的直線交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn)．過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長QM交C于點(diǎn)B.①設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k，k′，證明為定值；②求直線AB的斜率的最小值．(1)解?。?,2c＝＋＝1.(2)①證明 設(shè)P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)．由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，－2m)．所以直線PM的斜率k＝＝.直線QM的斜率k′＝＝－.此時(shí)＝－－3.②解 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由①知直線PA的方程為y＝kx＋＝－3kx＋m.聯(lián)立整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由x0x1＝，可得x1＝，所以y1＝kx1＋m＝＋m.同理x2＝，y2＝＋m.所以x2－x1＝－＝，y2－y1＝＋m－－m＝，所以kAB＝＝＝，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝時(shí)取“＝”．因?yàn)镻(x0,2m)在橢圓＋＝1上，所以x0＝，故此時(shí)＝，即m＝，符合題意．所以直線AB的斜率的最小值為.4．已知橢圓C：＋＝1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，短軸一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．解 (1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)＝2等價(jià)于＝2，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，＝1，不符合題意，舍去；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，由消去x并整理得，(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝－， ①y1y2＝－，② 由＝2得y1＝－2y2， ③由①②③解得k＝177。＋2k陜西)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.(1)解 由題設(shè)知＝，b＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝，所以橢圓E的方程為＋y2＝1.(2)證明 由題設(shè)知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，則x1＋x2＝，x1x2＝，從而直線AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.2．已知橢圓C：＋＝1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P(1，)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過橢圓C1：＋＝1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x2＋y2＝的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N(M，N不在坐標(biāo)軸上)，若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：＋為定值．(1)解 由題意得c＝1，所以a2＝b2＋1，又因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)在橢圓C上，所以＋＝1，可解得a2＝4，b2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)解 設(shè)直線l方程為y＝kx＋2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，因?yàn)棣ぃ?2k2－30，所以k2，又x1＋x2＝，x1x2＝，因?yàn)椤螦OB為銳角，所以＋λ＋＋λ＋λ＋λ為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解 (1)由已知，得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且＝－1. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得S△POR最大，只要y最大，而y的最大值為1，故滿足條件的P點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為P(0,1)和P(0，－1)．點(diǎn)評(píng) 存在性問
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