圓錐曲線中的探索性問題(存儲版)
【正文】 焦點為F(1,0)，短軸一個端點B到F的距離等于焦距．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．解 (1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)＝2等價于＝2，當直線l斜率不存在時，＝1，不符合題意，舍去；當直線l斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，由消去x并整理得，(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝－， ①y1y2＝－，② 由＝2得y1＝－2y2， ③由①②③解得k＝177。＋2k＋λ＝－1. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點．是否存在常數(shù)λ，使得xS＝＝＝4，∴|OR|(4－2，)＝8＋，又∵點P(x0，y0)在橢圓C上，∴＋y＝1?＝－，∴又由點到直線的距離公式得d＝.從而S△ABN＝四川)已知橢圓E：＋＝1(ab0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線l：y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個公共點T.(1)求橢圓E的方程及點T的坐標；(2)設(shè)O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA|S△POR最大的點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練3 (2015課標全國乙)在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由．2．(2016＋λ|PB|.題型一 定值、定點問題例1 已知橢圓C：＋＝1(ab0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點M，且＝λ，＝μ，當直線l的傾斜角變化時，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請說明理由．解 (1)依題意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴橢圓C方程為＋＝1.(2)∵直線l與y軸相交于點M，故斜率存在，又F坐標為(1,0)，設(shè)直線l方程為y＝k(x－1)，求得l與y軸交于M(0，－k)，設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又由＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.∴當直線l的傾斜角變化時，λ＋μ的值為定值－.點評 (1)定點問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．(2)定值問題的求解策略在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就是“定值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值．變式訓練1 已知拋物線y2＝2px(p0)，過點M(5，－2)的動直線l交拋物線于A，B兩點，當直線l的斜率為－1時，點M恰為AB的中點．(1)求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個定點P，使得以弦AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．解 (1)當直線l的斜率為－1時，直線l的方程為x＋y－3＝0，即x＝3－y，代入y2＝2px(p0)得y2＋2py－6p＝0，＝－p＝－2，p＝2，拋物線的方程為y2＝4x.(2)設(shè)直線l的方程為x＝m(y＋2)＋5，代入y2＝4x得y2－4my－8m－20＝0，設(shè)點A(，y1)，B(，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－20，假設(shè)存在點P(，y0)總是在以弦AB為直徑的圓上，則2pS△POR最大的點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請
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