圓錐曲線中的探索性問題(存儲(chǔ)版)
【正文】 焦點(diǎn)為F(1,0)，短軸一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．解 (1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)＝2等價(jià)于＝2，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，＝1，不符合題意，舍去；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，由消去x并整理得，(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝－， ①y1y2＝－，② 由＝2得y1＝－2y2， ③由①②③解得k＝177。＋2k＋λ＝－1. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得xS＝＝＝4，∴|OR|(4－2，)＝8＋，又∵點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓C上，∴＋y＝1?＝－，∴又由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝.從而S△ABN＝四川)已知橢圓E：＋＝1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA|S△POR最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．變式訓(xùn)練3 (2015課標(biāo)全國乙)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N，連接ON并延長交C于點(diǎn)H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由．2．(2016＋λ|PB|.題型一 定值、定點(diǎn)問題例1 已知橢圓C：＋＝1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ，＝μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請說明理由．解 (1)依題意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴橢圓C方程為＋＝1.(2)∵直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為y＝k(x－1)，求得l與y軸交于M(0，－k)，設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又由＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.∴當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，λ＋μ的值為定值－.點(diǎn)評 (1)定點(diǎn)問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．(2)定值問題的求解策略在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就是“定值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值．變式訓(xùn)練1 已知拋物線y2＝2px(p0)，過點(diǎn)M(5，－2)的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為－1時(shí)，點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．解 (1)當(dāng)直線l的斜率為－1時(shí)，直線l的方程為x＋y－3＝0，即x＝3－y，代入y2＝2px(p0)得y2＋2py－6p＝0，＝－p＝－2，p＝2，拋物線的方程為y2＝4x.(2)設(shè)直線l的方程為x＝m(y＋2)＋5，代入y2＝4x得y2－4my－8m－20＝0，設(shè)點(diǎn)A(，y1)，B(，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－20，假設(shè)存在點(diǎn)P(，y0)總是在以弦AB為直徑的圓上，則2pS△POR最大的點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請
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