圓錐曲線中的探索性問題-文庫吧
2025-07-10 00:14 本頁面
【正文】 3．(2016山東)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的長軸長為4，焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過動點M(0，m)(m＞0)的直線交x軸于點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點．過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長QM交C于點B.①設(shè)直線PM，QM的斜率分別為k，k′，證明為定值；②求直線AB的斜率的最小值．4．已知橢圓C：＋＝1(ab0)的右焦點為F(1,0)，短軸的一個端點B到F的距離等于焦距．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由． 圓錐曲線中的探索性問題1．(2016課標全國乙)在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由．解 (1)由已知得M(0，t)，P，又N為M關(guān)于點P的對稱點，故N，ON的方程為y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H.所以N為OH的中點，即＝2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點，理由如下：直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點．2．(2016四川)已知橢圓E：＋＝1(ab0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線l：y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個公共點T.(1)求橢圓E的方程及點T的坐標；(2)設(shè)O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA||PB|，并求λ的值．解 (1)由已知，得a＝b，則橢圓E的方程為＋＝1.由方程組得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①方程①的判別式為Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此時方程①的解為x＝2，所以橢圓E的方程為＋＝(2,1)．(2)由已知可設(shè)直線l′的方程為y＝x＋m(m≠0)，由方程組可得P點坐標為，|PT|2＝m2.設(shè)點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程組可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②方程②的判別式為Δ＝16(9－2m2)，由Δ0，解得－m.由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|PA|＝＝，同理|PB|＝.所以|PA||PB|＝m2.故存在常數(shù)λ＝，使得|PT|2＝λ|PA||PB|.題型一 定值、定點問題例1 已知橢圓C：＋＝1(ab0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點M，且＝λ，＝μ，當直線l的傾斜角變化時，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請說明理由．解 (1)依題意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴橢圓C方程為＋＝1.(2)∵直線l與y軸相交于點M，故斜率存在，又F坐標為(1,0)，設(shè)直線l方程為y＝k(x－1)，求得l與y軸交于M(0，－k)，設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又由＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.∴當直線l的傾斜角變化時，λ＋μ的值為定值－.點評 (1)定點問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．(2)定值問題的求解策略在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就是“定值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進行證明，或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān)，令其系數(shù)等于零即可得到定值．變式訓練1 已知拋物線y2＝2px(p0)，過點M(5，
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