圓錐曲線中的最值和范圍問題方法-文庫吧
2025-07-10 00:14 本頁面
【正文】 求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點(diǎn)?！緹狳c(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于：① 通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；② 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式D179。0。★★★突破重難點(diǎn)【范例1】已知動點(diǎn)P與雙曲線的兩個焦點(diǎn)FF2的距離之和為定值，且cos208。F1PF2的最小值為．（１）求動點(diǎn)P的軌跡方程； （２）若已知D(0,3)，M、N在動點(diǎn)P的軌跡上且，求實數(shù)l的取值范圍．講解 (１)由題意c2=5．設(shè)|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得． 又， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時，|PF1||PF2| 取最大值，此時cos208。F1PF2取最小值，令，解得a2=9，∴b2=4，故所求P的軌跡方程為. （２）設(shè)N(s,t)，M(x,y)，則由，可得(x，y3) =l(s，t3)，故x=ls，y=3+l(t3). ∵M(jìn)、N在動點(diǎn)P的軌跡上，且，消去s可得，解得，又|t|163。2，∴，解得，故實數(shù)l的取值范圍是．【點(diǎn)晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等．【文】已知點(diǎn)M(2，0)，N(2,0)，.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x0）（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，此時A（x0，），B（x0，－），＝2 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依題意可知方程1176。有兩個不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|1，又＝x1x2＋y1y2＝x1x2
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