圓錐曲線中的探索性問題(更新版)
【正文】 變式訓(xùn)練1 已知拋物線y2＝2px(p0)，過點(diǎn)M(5，－2)的動(dòng)直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為－1時(shí)，點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P，使得以弦AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．題型二 定直線問題例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2＝2py(p0)相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．變式訓(xùn)練2 橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，F(xiàn)F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓C過點(diǎn)(0,1)，且離心率e＝.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l的方程為x＝4，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn)，求陜西)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2.2．已知橢圓C：＋＝1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P(1，)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過橢圓C1：＋＝1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x2＋y2＝的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N(M，N不在坐標(biāo)軸上)，若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：＋為定值．3．(20162p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝p＝p＝2p2，∴當(dāng)k＝0時(shí)，(S△ABN)min＝2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，則O′H⊥PQ，O′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)．∵|O′P|＝|AC|＝＝，|O′H|＝＝|2a－y1－p|，∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2＝(y＋p2)－(2a－y1－p)2＝(a－)y1＋a(p－a)，∴|PQ|2＝(2|PH|)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．令a－＝0，得a＝，此時(shí)|PQ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線．方法二 (1)前同方法一，再由弦長公式得|AB|＝|x1－x2|＝ ＝2p2.∴當(dāng)k＝0時(shí)，(S△ABN)min＝2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，則以AC為直徑的圓的方程為(x－0)(x－x1)＋(y－p)(y－y1)＝0，將直線方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0，則Δ＝x－4(a－p)(a－y1)＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有|PQ|＝|x3－x4|＝＝2 .令a－＝0，得a＝，此時(shí)|PQ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線．點(diǎn)評 (1)定直線由斜率、截距、定點(diǎn)等因素確定．(2)定直線為特殊直線x＝x0，y＝y(tǒng)0等．變式訓(xùn)練2 橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，F(xiàn)F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，已知橢圓C過點(diǎn)(0,1)，且離心率e＝.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l的方程為x＝4，P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn)，求(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝2－.由于－2x2，故當(dāng)x1＝－時(shí)，|OR||yP|＝4y＝y(tǒng)，又P為橢圓上的一點(diǎn)，∴要使S△POS＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－＝1時(shí)，－－λ－2＝－3，此時(shí)為定值－3.高考題型精練1.(2015183
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