圓錐曲線中的探索性問題(編輯修改稿)
2025-08-21 00:14 本頁面
【文章內容簡介】 －2)的動直線l交拋物線于A，B兩點，當直線l的斜率為－1時，點M恰為AB的中點．(1)求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個定點P，使得以弦AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．解 (1)當直線l的斜率為－1時，直線l的方程為x＋y－3＝0，即x＝3－y，代入y2＝2px(p0)得y2＋2py－6p＝0，＝－p＝－2，p＝2，拋物線的方程為y2＝4x.(2)設直線l的方程為x＝m(y＋2)＋5，代入y2＝4x得y2－4my－8m－20＝0，設點A(，y1)，B(，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－20，假設存在點P(，y0)總是在以弦AB為直徑的圓上，則＝(－)(－)＋(y1－y0)(y2－y0)＝0，當y1＝y(tǒng)0或y2＝y(tǒng)0時，等式顯然成立；當y1≠y0或y2≠y0時，則有(y1＋y0)(y2＋y0)＝－16，即4my0＋y－8m－20＝－16，(4m＋y0＋2)(y0－2)＝0，解得y0＝2，x0＝1，所以存在點P(1,2)滿足題意．題型二 定直線問題例2 在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2＝2py(p0)相交于A，B兩點．(1)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．解 方法一 (1)依題意，點N的坐標為(0，－p)，可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋p，與x2＝2py聯(lián)立得消去y得x2－2pkx－2p2＝0.由根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝p＝p＝2p2，∴當k＝0時，(S△ABN)min＝2p2.(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，AC的中點為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，則O′H⊥PQ，O′點的坐標為(，)．∵|O′P|＝|AC|＝＝，|O′H|＝＝|2a－y1－p|，∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2＝(y＋p2)－(2a－y1－p)2＝(a－)y1＋a(p－a)，∴|PQ|2＝(2|PH|)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．令a－＝0，得a＝，此時|PQ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線．方法二 (1)前同方法一，再由弦長公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝＝2p，又由點到直線的距離公式得d＝.從而S△ABN＝d|AB|＝2p ＝2p2.∴當k＝0時，(S△ABN)min＝2p2.(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，則以AC為直徑的圓的方程為(x－0)(x－x1)＋(y－p)(y－y1)＝0，將直線方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0，則Δ＝x－4(a－p)(a－y1)＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有|PQ|＝|x3－x4|＝＝2 .令a－＝0，得a＝，此時|PQ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線．點評 (1)定直線由斜率、截距、定點等因素確定．(2)定直線為特殊直線x＝x0，y＝y(tǒng)0等．變式訓練2 橢圓C的方程為＋＝1(ab0)，F(xiàn)F2分別是它的左、右焦點，已知橢圓C過點(0,1)，且離心率e＝.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設橢圓的左、右頂點分別為A、B，直線l的方程為x＝4，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點，求的值；(3)過點Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點，與l交于R點，＝x，＝y(tǒng)，求證：4x＋4y＋5＝0.(1)解 由題意可得b＝1，＝，∴a＝3，橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)解 設P(x0，y0)，則直線PA、PB的方程分別為y＝(x＋3)，y＝(x－3)，將x＝4分別代入可求得D，E兩點的坐標分別為D(4，)，E(4，)．由(1)知，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，∴＝(4＋2，)(4－2，)＝8＋，
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