高考中立體幾何的解法探索(參考版)
2024-09-06 08:52本頁面
【正文】 計(jì)算 —— 常用解三角形的方法求角 。 （ 2）求線面角 贛南師范學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 ① 求直線與平面所成角的步驟： 構(gòu)造 —— 作出斜線與射影所成的角 。＜θ≤ 90176。 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行 . 贛南師范學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 12 ③ 轉(zhuǎn)化為線線平行：平面 a 的兩條相交直線與平面 b 內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則 a∥ b. ④ 利用平行平面的傳遞性：若 a∥ b,b∥ c,則 a∥ c. 垂直問題 （ 1）線線垂直的判定： ① 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平 面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直 . ② 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直 . ③ 若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線 . 補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條 . （ 2）線面垂直的判定： ① 如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面 . ② 如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那 么另一條也垂直于這個(gè)面 . ③ 一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面 . ④ 如果兩個(gè)平面垂直，那么在 — 個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另 — 個(gè)平面 . （ 3）面面垂直的判定： ① 利用判定定理，在審題時(shí)要注意直觀判斷那條直線可能是垂線，充分利用等腰三角形的中線垂直于底邊，勾股定理等結(jié)論 . ② 用定義證明，只需判斷兩個(gè)平面所成二面角是直二面角 . ③ 客觀題 中也可應(yīng)用：兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直第三個(gè)平面，則另一個(gè)也直于第三個(gè)平面 . 、空間距離的計(jì)算 立體幾何空間角的計(jì)算 （ 1）異面直線所成角 ① 平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線重點(diǎn)一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線的特殊點(diǎn) . ② 證明所作的角是異面直線所成的角 . ③ 在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形并解之 . ④ 因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍 錯誤 !未找到引用源。 直線 BC1到平面 D1AC 的距離即為點(diǎn) B到平面 D1AC的距離設(shè)為 h , 三棱錐 ABCD1的體積 ,以 ABC 為底面 ,可得 1 1 1( 1 2 ) 13 2 3V ? ? ? ? ? ?, 而 1ADC? 中 , 115 , 2A C D C A D? ? ?,故132ADCS? ? , 所以 1 3 1 23 2 3 3V h h? ? ? ? ? ?,即直線 BC1到平面 D1AC的距離為 23 . 用向量方法證明有關(guān)直線和平面的位置關(guān)系，求線段長度、點(diǎn)到面的距離及贛南師范學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 求異面直線的夾角、斜線與平面所成的角、二面角等 .用向量法解決立體幾何問題，使許多立體幾何中‘形’的思維轉(zhuǎn)化為‘?dāng)?shù)’的構(gòu)想，從而使現(xiàn)代思想中數(shù)形結(jié)合的思想更充實(shí)了形數(shù)結(jié)合的內(nèi)容，把許多空間抽象概念轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)運(yùn)算，降低了許多立體幾何難題的艱辛度 .備考時(shí)熟練掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、掌握利用向量證明平行、垂直及求距離、 角的方法 . 下面以向量法解立體幾何為例 ： 例 6： (2020 安徽，第 18 題 )如圖 7，在四棱錐 O ABCD? 中，底面 ABCD 四邊長為 1 的菱形， 4ABC ???, OA ABCD? 底 面 , 2OA? ,M 為 OA 的中點(diǎn)， N 為 BC的中點(diǎn) . （ 1）證明：直線 MN 平行于平面 OCD； （ 2）求異面直線 AB 與 MD 所成角的大小； （ 3）求點(diǎn) B到平面 OCD 的距離 . 解 : 如圖作 AP CD? 于點(diǎn) P,如圖 ,分別以 AB,AP,AO所在直線為 ,xyz 軸建立坐標(biāo)系 2 2 2 2 2( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 0 ,1 ) , ( 1 , , 0 )2 2 2 4 4A B P D O M N??, （ 1） 2 2 2 2 2( 1 , , 1 ) , ( 0 , , 2 ) , ( , , 2 )4 4 2 2 2M N O P O D? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)平面 OCD 的法向量為 ( , , )n x y z? ,則 0, 0n OP n OD?? 即 2 20222 2022yzx y z? ??????? ? ? ??? 取 2z? ,解得 (0,4, 2)n? 22(1 , , 1 ) ( 0 , 4 , 2 ) 044M N n ? ? ? ?∵ MN OCD? 平 面‖ . （ 2）設(shè) AB 與 MD 所成的角為 ? , 22(1 , 0 , 0 ) , ( , , 1 )22A B M D? ? ? ?∵ 1c o s ,23A B M DA B M D???? ? ??∴ ∴ , AB 與 MD 所成角的大小為 3?. 贛南師范學(xué)院 2020 屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 10 （ 3）設(shè)點(diǎn) B到平面 OCD 的距離為 d ,則 d 為 OB 在向量 (0,4, 2)n? 上的投影的絕對 值 , 由 (1,0, 2)OB??, 得 23OB ndn???.所以點(diǎn) B到平面 OCD 的距離為 23. 各類幾何體的結(jié)構(gòu) (1)棱柱 定義： 有兩個(gè)面 互相平行 ，其余各面都是 四邊形 ，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱 . 兩個(gè) 互相平行 的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面 .兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱 . 側(cè)面與底的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)，不在同一個(gè)面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對角線，兩個(gè)底面的距 離叫做棱柱的高 . 性質(zhì)： ① 棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是 全等 的矩形 . ② 棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊 互 相平行 的全等多邊形 . ③ 過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是 平行四邊形 . ④ 直棱柱的側(cè)棱長與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是 矩形 . (2)棱錐 定義： 如果一個(gè) 多面體 的一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐 . 性質(zhì)： ① 正棱臺 的側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的 等腰梯形 各 .等腰梯形 的高相等，它叫做 正棱臺 的斜高 . ② 正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似 正多邊形 . ③ 正棱臺 的兩底面中心連線、相應(yīng)的 邊心距 和斜高組成一個(gè) 直角梯形 .兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面
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