立體幾何的向量解法(參考版)
2024-11-13 12:27本頁面
【正文】 求： ⑴ OS與面 SAB所成角 α ⑵ 二面角 B－ AS－ O的大小 ⑶異面直線 SA和 OB所成的角 則 A（ 2， 0， 0）； 于是我們有 O A B C S 解：如圖建立直角坐標(biāo)系， x y z =（ 2， 0， 1）； =（ 1， 1， 0）； =（ 1， 1， 0）； =（ 0， 0， 1）； B（ 1， 1， 0）； S（ 0， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）； O（ 0， 0， 0）； 令 x=1，則 y=1， z=2； 從而 ⑴ 設(shè)面 SAB的法向量 顯然有 O A B C S x y z 所以直線 SA與 OB所成角大小為 ⑵ .由⑴知面 SAB的法向量 =（ 1， 1， 2） 又 ∵ OC⊥ 面 AOS， ∴ 是面 AOS的法向量， 令 則有 由于所求二面角的大小等于 ∴ 二面角 B－ AS－ O的大小為 O A B C S x y z 。 圖 1 θ 圖 2 θ 練 習(xí)： 如圖，已知：直角梯形 OABC中， OA∥ BC， ∠ AOC=90176。 =（ 0， 0， 4） 如例 3中，易見 是面 A1C1C的法向量； 注意：在求平面法向量過程中，若根據(jù)已知條件 很容易找出平面的法向量時(shí)，就無需列方 程組求了。 設(shè)平面 A1B1C的法向量為 =（ x， y， z）則 令 z=3，則 =（ 0， 4， 3）， 又因?yàn)? =（ 3， 0， 2）； 即 ED與平面 A1B1C所成角的大小為 arcsin ∴ =arcsin 注 ：如圖，設(shè)平面 β的法向量為 ， 直線 AO與平面所 成的角為 ； β θ o A C B1 B A1
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